Permita que$X$ y$Y$ sean espacios infinitos de Banach. Deje$T:X\longrightarrow Y$ ser un operador lineal compacto. Es fácil entender que$T$ no puede ser surjective: el teorema de Open Mapping debido a Banach, establece que los operadores de sobreactuación deben estar abiertos, y se deduce que la imagen de la unidad de bola$\mathbb{B}_{1,X}$ debe contener un ball$\{||y||<r\}$ para algunos$r>0$, por lo que su cierre no puede ser compacto. ¿Es cierto que la imagen de$T$ no puede contener ningún subespacio cerrado de dimensión infinita?
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MrTuttle
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Permita que$F\subset T(X)$ sea un subespacio cerrado (en$Y$). Entonces$E = T^{-1}(F)$ es un subespacio cerrado de$X$, y$T\lvert_E \colon E \to F$ es un operador de surjective compacto. Como$F$ está cerrado en$Y$, el teorema de la asignación abierta implica que$F$ es de dimensión finita.
Entonces: la imagen de un operador compacto no puede contener un espacio Banach de dimensión infinita.
user133339
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36
Una compacta de operador haya cerrado la gama fib tiene un número finito de rango dimensional. Sin pérdida de generalidad,podemos suponer que el rango de a es cerrado,de lo contrario se puede considerar que la restricción de la a a la E, donde E=T−1(F),En todos los casos, el teorema asegura que F es finito dimensionales. para demostrar el teorema,considere la posibilidad de la canónica mapa asociado con Una y el hecho de que el closedness de la gama del operador implica la invertibility de la canónica de mapa y, por tanto, el finito dimensionalidad de la gama (la identidad es compacto).
