Identificación de $\mathbb{C}^*/\mathbb{R}^{+}$

Question

Defino un Homomorfismo Surjetivo $\varphi:\mathbb{C}^*\to S^1$ por $z\mapsto {z\over |z|}$

Ker $\varphi=\{z\in\mathbb{C}^*:\varphi(z)=1\}\Rightarrow\{z: z=|z|\}=\mathbb{R}^{+}$

Así que, $S^1=\mathbb{C}^*/\mathbb{R}^{+}$

¿tengo razón?

Answer 1

Sí, tienes razón. Puedes visualizar este resultado identificando cada elemento de $\mathbb{C}^*/\mathbb{R}^+$ con un rayo fuera de $(0, 0)$ en $\mathbb{C}^*$ . Entonces para multiplicar dos rayos, multiplica los representantes de ellos y toma el rayo que contiene el resultado. Es evidente que el producto de dos rayos en este sentido sólo depende de los ángulos, no de las magnitudes, de los representantes, por lo que esta operación está bien definida. Así que los representantes elegidos podrían ser también los elementos únicos de $S^1$ en los dos rayos. Así, el grupo de rayos es isomorfo a $S^1$ .