Ayuda con función especial diferencial ecuación

Question

esta es mi primera vez que utilice este sitio. Por favor, hágamelo saber si las ecuaciones son ilegibles, látex no es mi primer idioma.

Hemos estado cubriendo Legendre, Bessel, y Hipergeométrica Confluente Funciones como funciones especiales que se observa con frecuencia en la solución de ecuaciones diferenciales e integrales. Este capítulo es difícil de entender.

Me parece estar golpeando la pared y/o overthinking la siguiente:

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Supongamos que un lineal de segundo orden de la ecuación diferencial tiene la siguiente solución:

$$ x^{\alpha }J_{\pm m}(\beta x^{\gamma }) $$

Lo que la ecuación diferencial que puede ser esto? El uso de este, dar la solución general de: $$ y"+x^{2}y=0 $$

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Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Si usted tiene un DEQ de la forma:

$$y'' + \frac{1-2a}{x}y' + \left[(bcx^{c-1})^2 + \frac{a^2 - p^2c^2}{x^2}\right]y = 0.$$

Se tiene la solución:

$$y = x^aZ_p(bx^c).$$

donde $Z$ es sinónimo de $J$ o $N$ o cualquier combinación lineal de ellos y $a,b,c,p$ son constantes. Todo lo que hacemos es hacer coincidir las y resolver para las constantes de su DEQ y, a continuación, usted tiene la solución a $y$.

Usted debe ser capaz de encontrar esto en el NIST DLMF o Matemáticas del Mundo.

Cuando usted escribe la solución, se debe verificar como usted probablemente ha aprendido en clase.

También, para ser completa, esto DEQ puede utilizar el Cilindro Parabólico Función como una solución.

Answer 2

Mira aquí. La idea básica es: Sabes que $g(t)=J_{\pm n}(t)$ satisfacer ecuación de Bessel, entonces uno debe mirar lo que sucede con esta ecuación si cambiamos la variable independiente, $t=\beta x^{\gamma}$ y simultáneamente sustituir la función $g(t)$ $x^{-\alpha}y(x)=\left(t/\beta\right)^{-\alpha/\gamma}y\left(\left(t/\beta\right)^{1/\gamma}\right)$.

Con respecto a la ecuación específica al final, Comparar con (6): entonces el $2\alpha-1=0$, $\alpha^2-n^2\gamma^2=0$, $2\gamma-2=2$, $\beta^2\gamma^2=1$ %.