Palabras "complicadas" en Congruence Modulo Question?

Question

Estoy hecho para todos los valores posibles, pero solo puedo ver uno. La pregunta en mi examen de práctica se lee:

Considere la posibilidad de la equivalencia de la clase [3] para la relación de equivalencia "congruencia modulo $7$"$\Bbb Z$. Supongamos que $S = {1, 2, ..., N}$ donde $N$ es un entero positivo. Encontrar todos los posibles valores de $N$, de modo que $[3] \cap S$ contiene exactamente $10$ elementos.

Como yo lo veo, $S$ debe $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$, por lo que todos los valores posibles de a $N$ se $12$?

$3$ $10$ y los miembros de $[3]$, pero $13$ no es, por lo que cualquier mayor de los valores podría tener más de $10$ elementos.

Answer 1

Recordemos que $[3]$ es una clase de equivalencia, que representa a un conjunto:

$$x \in [3] \iff x \equiv 3 \pmod 7 \implies x = 7k + 3 \;\text{ where}\;\;k\in \mathbb Z$$

¿Qué números enteros $x$ $\mathbb N = {1, 2, 3, ....}$, son tales que $x = 7k + 3, k\geq 0\,$? Necesitamos la primera diez tales elementos en los números naturales y vamos a llamar el conjunto de los primeros diez elementos $X$:

$$X ={3, 10, 17, 24, 31, 38, 45, 52, 59, \bf 66} $% $ de \in [3] $ is the set of the first ten elements in $[3] $, if we are considering only values of $x como un subconjunto de los números naturales.

$$S \subset \mathbb N = {1, 2, 3, \cdots, 65, {\bf 66}}$$

$$|X \cap S| = 10 \implies \bf N = 66$$

Answer 2

El primer $10$ enteros positivos que pertenecen a la clase de equivalencia se $3, 10, 17, 24, 31, 38, 45, 52, 59, 66$.

Así que tenemos que ir a a $66$ al menos, y no queremos que el próximo, $73$, para que nos pondría más.

Observación: El número de $7$ definitivamente no pertenece a la clase de equivalencia de a $3$ modulo $7$, ya que la diferencia entre el $7$ $3$ no es divisible por $7$.

La clase de equivalencia de a $3$, en símbolos $[3]$, consta de todos los números enteros $n$, positivo, negativo o $0$, de tal manera que $n\equiv 3\pmod{7}$. En la más antigua lengua, que consiste de todos los números enteros $n$ de la forma $7k+3$.

Muy pronto, empezamos a pensar que de $[3]$ como un único objeto abstracto, y tendemos a olvidar que, en principio, es un conjunto infinito. En ese sentido, la pregunta era un poco de una pregunta con trampa.