¿Cómo podemos formalizar la naturalidad de ciertos subgrupos característicos?

Question

Estoy tratando de conseguir un mejor manejo de la característica de los subgrupos, y muchos buenos ejemplos se dan con algún tipo de "natural" de la definición. Por ejemplo, es claro que el centro de torsión de los subgrupos, y el colector de un subgrupo de un grupo dado, son característicos, debido a la forma en que son definidas. ¿Cómo podemos formalizar este "connaturalidad"? Las dos últimas tienen functors asociados a los mismos, pero no estoy del todo seguro si esa es la razón para los subgrupos de la característica (y no hay una forma similar functor para el centro de un grupo).

EDIT: me explico por qué estoy haciendo esta pregunta. Es útil saber cómo varios característica de los subgrupos de interactuar directa con los productos, cocientes, y otro grupo de construcciones. Henry construcción a continuación es quizás el derecho formalismo, pero no está claro para mí lo que el extra que nos compre. Por otro lado, sabiendo que un cierto subgrupo surge como la imagen de un functor significa que debemos ser capaces de utilizar categórica consideraciones para determinar algunas de las propiedades de este subgrupo. Así que aquí están algunas de las preguntas relacionadas con:

1. Es posible el uso de definibles subconjuntos para ver cómo característico de los subgrupos de actuar con respecto a directa de productos, cocientes, o de otro grupo de construcciones?
2. ¿Qué propiedades de la Comm functor en Grp? ¿Qué acerca de los términos de referencia functor en Ab? Además, las propiedades que se hace un functor han de tener en orden a definir una característica de los subgrupos? (Aparte de lo obvio de la propiedad de que F(G) es un subgrupo de G para todo G!)

Answer 1

El colector de un subgrupo de un grupo es administrado por un functor en la categoría cuyos objetos son los grupos y cuyos morfismos son todos homomorphisms. Podemos decir que la declaración similar para la torsión de los subgrupos de un grupo abelian, y esta es la razón por la que los subgrupos son completamente invariante y no sólo un carácter. El centro no es totalmente invariante (véase por ejemplo, el diedro grupo de orden dos veces cuatro), y sólo es dada por un functor en el núcleo de fibra de vidrio, es decir, la categoría cuyos objetos son los grupos y cuyos morfismos son isomorphisms.

Si usted tiene un endofunctor en la categoría de (abelian) grupos, cuyos morfismos son todos homomorphisms, de tal manera que los objetos son llevados a subobjetos, a continuación, los subobjetos son completamente invariante (de ahí característica) de los subgrupos. Si usted tiene el endofunctor que sólo está definida en el núcleo de fibra de vidrio (o Ab), de tal manera que los objetos son llevados a subobjetos en Prfv (no en el núcleo), entonces los subobjetos son característicos de los subgrupos. Prueba: mira lo que el functor hace a un endomorfismo de la fuente.

Answer 2

Esto no es particularmente profunda, pero de una manera de llegar a estos subgrupos es a través de definibles subconjuntos. Una de primer orden predicado define un subconjunto de un grupo. Por ejemplo, el predicado p_g(x)={existe y, yxy^{-1}=g} se define la clase conjugacy del elemento g. El predicado p_g utiliza un coeficiente, g, pero un subconjunto definido por un coeficiente de libre predicado será claramente invariante bajo cualquier grupo automorphism.

Ahora, el centro de un grupo se ve fácilmente para ser definible subconjunto, en la nariz.

Los otros dos ejemplos, probablemente, en realidad no son definibles, en general, pero son los sindicatos de definibles subconjuntos. Creo que se sigue de que todavía inédito teorema de Bestvina y Feighn que el colector de un subgrupo de un grupo libre no es definible. Pero el colector de un subgrupo del curso es el infinito de la unión de subconjuntos definidos por los predicados de la forma

q_n(x)={existen a_1,....,a_2n , x=[a_1,a_2]...[a_{2n-1},a_2n]}.

Alternativamente, usted puede pensar que es el subgrupo generado por el definibles por el conjunto que consta de todos los conmutadores - como esta establecido es invariable, el subgrupo es invariante.

Como para el subgrupo de torsión (en el abelian caso), es la unión de subconjuntos definidos por los predicados de la forma

r_n(x)={x^n=1}

sobre todos los n. No sé un ejemplo, pero no hay ninguna razón especial para pensar que puede ser definido por un único predicado. (Tenga en cuenta que sólo se permite cuantificar el exceso de los elementos del grupo, por lo que un predicado como {existe n, x^n=1} no está permitido cuando se habla de conjuntos definibles. Aunque es una perfectamente buena prueba de que la torsión de los subgrupos es característico!)

Respecto verbal subgrupos, que son precisamente los subgrupos generados por definibles subconjuntos con los predicados de una forma particular.

Answer 3

Tengo mucho que decir, así que para simplificar el tema, voy a utilizar el término "subgrupo-definición de función" para un isomorfismo-invariante de la asignación que se asocia a un subgrupo único para cada grupo. [NOTA: realmente no es una "función", porque el "dominio" y "rango" no son conjuntos.]

Cualquier subgrupo-definición de la función de los rendimientos de una característica de los subgrupos, debido a que el isomorfismo invariancia implica la invariancia bajo automorfismos. Sin embargo, no es generalmente el caso de que un subgrupo-definición de la función da un endofunctor (en el sentido de que Scott describe), es decir, no es necesario que obedecer la covarianza con la arbitraria grupo homomorphisms.

Hay un par de ejemplos especiales de endofunctors, en particular el colector de subgrupo, los miembros de la derivada de la serie, los miembros de la inferior central de la serie, y otras definiciones que da verbal subgrupos). En particular, si un subgrupo-definición de la función es un endofunctor, debe ser, como Scott menciona, la salida de un completamente invariante subgrupo, que es la débil condición de ser verbal, sino que es todavía más fuerte que la característica.

De hecho, la mayoría de los subgrupos-definición de funciones de interés son no endofunctors, y esto podría estar relacionado con el hecho de que la categoría de la teoría, o functorial, pensando, no sube mucho en el estudio de los grupos. Subgrupo-definición de funciones tales como el centro, miembro de la parte superior central de la serie, Frattini subgrupo, Montaje subgrupo, zócalo, no endofunctors. Por otra parte, el subgrupo de que el rendimiento no necesariamente son completamente invariante. Curiosamente, muchos de estos subgrupos se sigue estrictamente característica subgrupos (también llamado distinguido subgrupos) -- se envió a dentro de sí mismos por surjective endomorphisms del grupo. Sin embargo, esto no es cierto para todos ellos.

La siguiente pregunta podría ser: ¿hay algún sentido en el que los subgrupos obtenidos a través de la fácil-a-escribir subgrupo-definición de las funciones más especiales de carácter arbitrario subgrupos? Hay dos ideas que nos pueden pedir prestado de la lógica para definir las nociones de "singularidad" más fuerte que characteristicity:

1. No debe haber ningún otro subgrupo del grupo de forma que las teorías de los dos grupo-subgrupo pares son "equivalentes" en lo que sea lógica la que estamos trabajando. En la lógica de primer orden, no debe haber ningún otro subgrupo cuya integración en el grupo en su conjunto es elementarily equivalente a la de un determinado subgrupo.

2. El subgrupo puede ser definido (como un subconjunto del grupo), en la teoría pura del grupo, utilizando cualquiera que sea la lógica que estamos trabajando. En la lógica de primer orden, esto es lo que podríamos llamar un "puramente definibles por el subgrupo" (o "definibles por el subgrupo" -- el puramente es de destacar que ninguna estructura adicional se ha agregado al grupo). Como se mencionó en la de Henry respuesta, el centro es puramente definibles (más generalmente, todos los miembros de la parte finita de la parte superior central de la serie), pero el colector de subgrupo no es puramente definibles gratis grupos.

3. De manera más general, podemos querer que no es una pura definición que trabaja para el subgrupo-definición de la función, no sólo se requiere que la salida del subgrupo-definición de la función para cada grupo de entrada es definible en ese grupo.

Para cada lógica, (2) es más fuerte que el (1). Por ejemplo, una puramente definibles por el subgrupo no puede ser elementarily equivalente a cualquier otro subgrupo. Por otra parte, la más potente de la lógica, la más débil de las nociones (1) y (2) en esa lógica.

[NOTA: (2) Que en general es más fuerte que (1) puede ser visto desde la situación análoga de los números reales: cualesquiera dos números reales se pueden distinguir por una de primer orden predicado en la teoría de los números reales, por lo que cada número real es "único" en el sentido de (1). Sin embargo, sólo hay countably muchos definidos por los números reales, por lo que casi todos los números reales son no únicamente definible en el sentido de (2).]

Answer 4

Una bonita familia de subgrupos es uno de los que son 'verbal'; Esto no incluye el centro o el subgrupo de torsión aunque. Por otra parte, usted puede conseguir el subgrupo de torsión como el conjunto de elementos que cumplan (de un) conjunto de ecuaciones y esto se generaliza a otros tipos de ecuaciones.