Álgebra lineal: valores propios de un operador integral en polinomios

Question

Considere la posibilidad de la transformación lineal $$ T : \left\{ \begin{array}{ccc} \mathbb{R}_n[X] & \to & \mathbb{R}_n[X] \\ P & \mapsto & \int_0^1 (X + t)^n\,P(t)\,dt \end{array}\right. $$

donde $\mathbb{R}_n[X]$ denota el espacio vectorial de los polinomios con coeficientes reales y el grado $\leqslant n$.

NB: $T$ es auto-adjunto con respecto a la $L^2$-producto interior $\langle P, Q \rangle = \int_0^1 P(t)\, Q(t) \,dt$.

La pregunta es: ¿cuáles son los autovalores de a $T$?

Edit: Esta pregunta fue publicado originalmente por alguien en el francés matemáticas foro les-mathematiques.net (aquí). No sé si hay una razón para pensar que es posible encontrar una expresión explícita para los autovalores.

Answer 1

El uso de la ad-hoc de la convención de $\frac{x}{0}=x$, Newton fórmula binominal rendimientos

$$ T(X^j)=\sum_{i=0}^{n} \frac{\binom{n}{i}}{n+1+j-i}X^i \etiqueta{1} $$

Si denotamos por a ${\cal B}_n=(1,X,X^2, \ldots, X^{n})$ canónica de la base de ${\mathbb R}_n[X]$, la matriz $A$ $T$ relativamente a ${\cal B}_n$ es $A=(a_{ij})_{1\leq i,j \leq n+1}$ donde

$$ a_{ij}=\frac{\binom{n}{i-1}}{n+1+j-i} \etiqueta{2} $$

Por ejemplo, cuando se $n=4$ hemos

$$ A=\left(\begin{matrix} \frac{1}{5} & \frac{1}{6} & \frac{1}{7} & \frac{1}{8} & \frac{1}{9} \\ \ & & & & \\ 1 & \frac{4}{5} & \frac{2}{3} & \frac{4}{7} & \frac{1}{2} \\ \ & & & & \\ 2 & \frac{3}{2} & \frac{6}{5} & 1 & \frac{6}{7} \\ \ & & & & \\ 2 & \frac{4}{3} & 1 & \frac{4}{5} & \frac{2}{3} \\ \ & & & & \\ 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} \\ \end{de la matriz}\right) $$

El polinomio característico de esta $A$ es

$$\chi_A=X^5 - \frac{16}{5}X^4 - \frac{251}{450}X^3 + \frac{2977}{330750}X^2 - \frac{19}{1890000}X + \frac{1}{2778300000}$$

un polinomio cuyo grupo de Galois sobre $\mathbb Q$ ${\mathfrak S}_5$ y cuyas raíces son, por tanto, no se pueden expresar por los radicales.

Por lo tanto estoy de acuerdo con Christopher A. Wong comentario de que es poco probable que una simple forma cerrada, existe una solución.

Answer 2

Mientras que tuns rápidamente que allí es ninguna "fórmula sencilla" para estos valores propios de uno es conducida a verlos numéricamente. Son de hecho reales y alternativo en la muestra, el más grande uno es positivo. La siguiente figura muestra los resultados de $n=30$: