Averigua si el polinomio tiene un anillo de cociente inverso

Question

Averigua si el polinomio $x^3-x^2+x-1$ tiene un elemento inverso en el anillo de cociente ${ \displaystyle \mathbb {Z} }_{11}/(x^4+3x^3-3x^2-4x-1)$ si es así, encuentra esto al revés.

Sé que $x^3-x^2+x-1$ tiene un elemento inverso cuando $gcd(x^4+3x^3-3x^2-4x-1;x^3-x^2+x-1)$ ~ $1$ . También sé que puedo usar el algoritmo euclidiano. Pero no estoy seguro de mi resultado, tengo el resultado de que el g $cd$ ~ $5$ significa que $x^3-x^2+x-1$ no tiene inverso. ¿Estoy en lo cierto?

¡Gracias por cualquier ayuda!

Answer 1

No he comprobado los cálculos, pero si tienes $5$ , entonces eso significa que son relativamente primos y por lo tanto que tiene un inverso. Esto es así porque al afirmar que $5$ es el máximo común divisor de dos polinomios es lo mismo que afirmar que $1$ es el máximo común divisor de ellas. Obsérvese que, en $\mathbb{Z}_{11}$ , $5\neq0$ .

Answer 2

El algoritmo euclidiano ampliado sobre $\mathbb Q$ da : $$ 232 = (49 x^3 + 168 x^2 - 75 x - 195)(x^3-x^2+x-1) +(-49 x^2 + 28 x - 37)(x^4+3x^3-3x^2-4x-1) $$ Mod $11$ esto se convierte en $$ 1 \equiv (5 x^3 + 3 x^2 - 9 x - 8)(x^3-x^2+x-1) \bmod (x^4+3x^3-3x^2-4x-1) $$ por lo que la inversa es $5 x^3 + 3 x^2 - 9 x - 8 \equiv 5x^3+3x^2+2x+3$ .

Answer 3

Dado que José ya ha cubierto el hecho de que su enfoque es válido, voy a presentar un enfoque alternativo fresco. Primero, construye la matriz compañera de $x^4+3x^3-3x^2-4x-1$ Llámalo $A$ .

Aquí $$A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & -3 \end{pmatrix}_.$$

Ahora considera la matriz, $B = A^3 - A^2 + A - I$ . Entonces $B$ es invertible (recordemos que los coeficientes de la matriz se encuentran en $\mathbb{Z}_{11}$ ) si $x^3 - x^2 + x - 1$ es invertible. Aún más fuerte, si se expresa $B^{-1}$ como una combinación lineal de $I, A, A^2, A^3$ esto te dice la inversa de $(x^3-x^2 + x -1)$ ¡!

Más explícitamente, si $B^{-1} = c_3A^3 + c_2A^2 + c_1A + c_0I$ entonces $$(x^3-x^2+x-1)^{-1} = c_3x^3+c_2x^2+c_1x+c_0.$$