Dados especiales, generar secuencia no decreciente

Question

Supongamos que, cuando rodó por primera vez, un especial de 6 caras de los dados muestra $1,\ldots, 6$ con una probabilidad de $\frac{1}{6}$ cada uno, y luego de relaminado, muestra con igual probabilidad de un número mayor o igual que el anterior resultado (por ejemplo, si sacas un $4$, el posterior resultado va a ser uno de $4, 5, 6$, cada una con una probabilidad de $\frac{1}{3}$). Ahora, ¿cuál es la probabilidad de que el $n$-ésimo lanzamiento es una $6$?

Esta es una casa de pregunta y me pregunto si hay una manera elegante de resolverlo, evitando desordenado de cálculo.

Answer 1

Si $pn$ es la probabilidad de que el $n$ th es una de seis, la función de generación de esta secuencia es $$\phi(s)=\sum{n\geq1} p_n s^n={120s\over(6-s)(5-s)(4-s)(3-s)(2-s)(1-s)}.$ $ A fracción parcial de expansión nos da el % fórmula explícita $$pn=\sum{j=0}^5 {5\choose j}{(-1)^j\over (j+1)^n}.$$ los primeros pocos valores son % $ $$p_1={1\over 6},\quad p_2={49\over 120 },\quad p_3={13489\over 21600},\quad p_4={336581\over 432000}.$