AIME 1997, problema 12

Question

Por favor, eche un vistazo :

Problema

La función de $f$ definido por $f(x)= \frac{ax+b}{cx+d}$, donde $a$,$b$,$c$ y $d$ son números reales distintos de cero, tiene las propiedades $f(19)=19$, $f(97)=97$ y $f(f(x))=x$ para todos los valores, excepto $\frac{-d}{c}$. Encontrar el único número que no está en el rango de $f$.

La solución se puede encontrar aquí

Afirma, sin pruebas, de que si tenemos la funcional de la igualdad:

$$\frac{px+q}{rx+s}=x$$ then $r=q=0.$

En la primera solución, la línea $3$ ¿por qué tienen que ser $q = r = 0$? [ Entiendo que la verdad es lo contrario, es decir , si $q = r = 0 $, la fracción se reduce a $x$ al $p = s$ ]

Answer 1

Básicamente, un polinomio con infinitamente muchas raíces debe ser un polinomio cero.

Si $\frac{px+q}{rx+s}=x$ % infinitey muchos $x$entonces:

$$px+q=rx^2+sx$$ for infinitely many $$%x y, por tanto:

$$rx^2+(s-p)x-q=0$$

para infinitamente muchos $x.$ así que esto debe ser un polinomio cero, que significa que el $r=0,s-p=0,$ y $q=0.$

Answer 2

Una manera de llegar a esta conclusión es que diferentes valores de $x$. Por ejemplo, poner $x=\pm 1$ en resultados de $ $$\frac{px + q}{rx + s}=x\tag{1}$ $q+p=r+s$ y $q-p=r-s$ $q=r$, que y $p=s$. Del mismo modo, tapando $x=0$ $(1)$ resultados en $q=0$. Como tal, $r=q=0$.

Answer 3

Tenga en cuenta que homographies está definida de forma única a través de un coeficiente de proporcionalidad.

Primera observación que si $(ad-bc)=0$ o $k=\frac ac=\frac bd$ $f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}=\dfrac{kcx+kd}{cx+d}=k$

En el caso de la homografía es no degenerado a una constante, entonces

$\dfrac{ax+b}{cx+d}=\dfrac{Ax+B}{Cx+D}\iff (aC-Ac)x^2+(aD+bC-Ad-Bc)x+bD-Bd = 0$

Usted obtener dos condiciones $\begin{cases}aC=Ac\iff A=\lambda a,\ C=\lambda c\\ bD=Bd\iff B=\mu b,\ D=\mu d\end{casos}$

La central término factorizes a $(\lambda-\mu)(ad-bc)x=0\iff \lambda=\mu$ ya no estamos en el caso degenerado.

Finalmente consigue que dos homographies son iguales solamente cuando sus coeficientes son todos proporcional con la misma constante de proporcionalidad.

En nuestro caso simple $\dfrac{px+q}{rx+s}=x=\dfrac{1x+0}{0x+1}$ obtener $q=0\lambda, r=0\lambda, p=1\lambda, s=1\lambda$

O, más sencillamente,$q=r=0$$p=s$.