Encontrar todos los aviones que satisfagan dos condiciones

Question

Deje $\Pi_1 : 7x-5y-2z=0, \Pi_2 : 5x-4y-z=0$ $\mathbb{L}$ la línea que pasa a través de puntos de $P=(-2,3,-3)$$Q=(-1,2,-1)$. Encontrar todos los planos $\Pi$ que cumplan:

• $\Pi \cap \Pi_1 \cap \Pi_2 = \emptyset$
• $d(R,\Pi)=\sqrt{14} \forall R \in \mathbb{L}$

Hasta ahora, he encontrado que $\Pi_1\cap\Pi_2= { X : \lambda (1,1,1) } $$\mathbb{L} : X=\lambda(1,-1,2)+(-1,2,-1)$;$\Pi : NX = NQ$, $N$ ser un vector ortogonal al plano y a $Q$ ser cualquier punto en $\Pi$, se deduce que el $N \perp(1,1,1)$$N\perp(1,-1,2)$, por lo que podemos definir $N=(1,1,1)\times(1,-1,2)=(3,-1,-2)$.

Como $d(R,\Pi) = \frac{|N(R-Q)|}{||N||} = \sqrt{14}$

$\frac{|(3,-1,-2)((-3\lambda-1,\lambda+2,-4\lambda-1)-(x,y,z))|}{||(3,-1,-2)||} = \sqrt{14}$

$|(3,-1,-2)(-3\lambda-1-x,\lambda+2-y,-4\lambda-1-z)| = 1$

$-9\lambda-3-3x -\lambda-2+y +8\lambda+2+2z = \pm 1$

$-3x+y+2z-2\lambda-3 = \pm 1$

y yo simplemente no saben qué hacer a continuación. Cualquier ayuda sería muy apreciada.

EDIT: Solucionado.

$d(R,\Pi) = \frac{|N(R-Q)|}{||N||} = \sqrt{14}$

$(3,-1,-2)((-1,2,1)-(x,y,z)) = \pm 1$

$-3x+y+2z-7=\pm 1$

Así que podemos aprovechar $Q$ como $(0,4,2)$ o $(0,2,2)$ y se obtienen dos planos diferentes:

$\Pi_3: 3x-y-2z=-8$ $\Pi_4: 3x-y-2z=-6$ . Una vez más, muchas gracias.

Answer 1

Martín, creo que puedes tomar cualquier valor de$\lambda$, porque la distancia entre R y$\Pi$ no cambia si R es un punto de L, ya que te aseguraste que L es paralelo a$\Pi$. Aunque no estoy seguro. (Por cierto, supongo que la primera condición es en realidad$\Pi\cap(\Pi_1\cap\Pi_2)$.)