Las relaciones entre el " $\forall$ " cuantificador e integración

Question

Estoy estudiando introducción a la lógica matemática, hace poco empezamos con la lógica de predicados y encuentro similitudes entre el " $\forall$ " y la integración:
1. Ambos tienen una variable ficticia, que "enumeran" sobre sus posibles valores
2. El hecho de que $\forall x \forall y \alpha \vDash \forall y \forall x \alpha$ es similar al teorema de Fubini.

¿Existe un formalismo que relacione ambas cosas?

Answer 1

Lo que sigue puede ser relevante para lo que estás preguntando. Las nociones $\exists^{*},$ $\forall^{*}$ (existe un número de personas que no es muy grande, para el número de personas que es muy grande) y $\exists_{\mu}^{*},$ $\forall_{\mu}^{*}$ (existe la no $\mu$ -medida cero muchos, para $\mu$ -casi todos) pueden encontrarse en las páginas 53 y 114, respectivamente, de Kechris [1] . Estas nociones de cuantificadores generalizados son ejemplos adicionales de lo que he discutido en mi respuesta a ¿Por qué los matemáticos no han ideado una forma eficiente de escribir "suficientemente", por ejemplo, "para $n$ suficientemente grande" Aunque no me he molestado en mencionarlos allí porque mi respuesta era probablemente demasiado técnica para la pregunta.

De todos modos, en [2] Lyons observa (Proposición 1) que el Teorema de Fubini para conjuntos de medida cero implica los cuantificadores $\forall_{\mu}^{*}$ y $\forall_{\nu}^{*}$ conmutan (y por lo tanto tomando negaciones, $\exists_{\mu}^{*}$ y $\exists_{\nu}^{*}$ también conmutan), donde $(X,\mu)$ y $(Y,\nu)$ son $\sigma$ -espacios de medida finita. Más precisamente, si $P(x,y)$ es un predicado medible, lo que significa que el subconjunto de $X \times Y$ donde $P$ es cierto es $\mu \times \nu$ medible, entonces $\forall_{\mu}^{*}\,\forall_{\nu}^{*}\,P(x,y)$ se mantiene si y sólo si $\forall_{\nu}^{*}\,\forall_{\mu}^{*}\,P(x,y)$ se mantiene.

[1] Alexander Sotirios Kechris, Teoría descriptiva clásica de conjuntos , Graduate Texts in Mathematics #156, Springer-Verlag, 1995, xviii + 402 páginas.

[2] Russell David Lyons, Cuantificadores teóricos y medida de Haar , Actas de la Sociedad Matemática Americana 86 #1 (septiembre de 1982), 67-70. [Véanse también las correcciones no triviales en Fe de erratas de Los cuantificadores teóricos de la medida y la medida de Haar , Proc. AMS 91 #2 (junio de 1984), 329-330].

Answer 2

En realidad sospecho que hay una relación más estrecha entre la integración y la existencial cuantificador.

Desde la perspectiva de la teoría de las categorías, la suma es un caso de coproducto que a su vez está estrechamente relacionado con la cuantificación existencial. Por ejemplo:

• Dada una familia de conjuntos $(X_i \mid i \in I)$ su unión disjunta $\sum_{i \in I} X_i$ satisface la siguiente propiedad universal: las funciones $f : \sum_{i \in I} X_i \to Y$ corresponden a $I$ -familias de funciones indexadas $f_i : X_i \to Y$ . (De forma más general, sustituya "conjuntos" por "objetos de una categoría", "funciones" por "morfismos" y "unión disjunta" por "coproducto").
• Dada una proposición $\varphi(x)$ , donde $x$ se extiende sobre algún conjunto $I$ , las pruebas de $[(\exists x \in I) \varphi(x)] \Rightarrow \psi$ se corresponden con las pruebas de $\varphi(i) \Rightarrow \psi$ para cada $i \in I$ .

[De hecho, desde la perspectiva de la teoría de tipos dependientes de Martin-Löf, se identifican las nociones de 'unión disjunta de conjuntos' y 'fórmula existencialmente cuantificada'].

Otra perspectiva es que las uniones disjuntas indexadas y la cuantificación existencial son instancias de adjuntos izquierdos a funtores de sustitución de los tipos apropiados. Me ahorraré los detalles ahora, pero las secciones 9.5 y 9.7 de Libro de texto de Steve Awodey sobre teoría de categorías es un buen punto de partida.

Ahora la integración generaliza la suma y coends generalizan los coproductos, y estas generalizaciones se producen de forma similar ( gente más inteligente que yo han estudiado las conexiones entre integrales y coendas).

Así que en conclusión, estás pensando en la línea correcta, pero creo que encontrarás más paralelismos entre la integración y $\exists$ que la integración y $\forall$ .

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Adenda: esta entrada del blog de Bartosz Milewski discute la conexión entre las coendas y el cuantificador existencial como se implementa en Haskell. Dice:

Al igual que el final está relacionado con un producto, el coendo está relacionado con un coproducto, o una suma (en este sentido, se parece a una integral, que es un límite de una suma) . En lugar de tener proyecciones, tenemos inyecciones que van desde los elementos diagonales del profunctor hasta la coenda. Si no fuera por las condiciones de cohesión, podríamos decir que la coenda del profunctor p es p a a o p b b o p c c y así sucesivamente. O podríamos decir que existe tal a para el que la coenda es sólo el conjunto p a a . El cuantificador universal que utilizamos en la definición del fin se convierte en un cuantificador existencial para el coend.

Por eso, en pseudo-Haskell, definiríamos el coend como

exists a. p a a

Answer 3

Si haces las siguientes sustituciones: $$\begin{align} &+ \to \min, \\ & \times \to + \end{align}$$ en la definición de la integral de Riemann $\int_a^b f(x)\,dx$ se obtiene el equivalente a $\min_{x\in[a,b]} f(x)$ . Más sobre el álgebra max-plus .

En el caso de que $f$ tiene codominio $\{0,1\}$ , esto es lo mismo que el indicador de $\forall x\in[a,b],f(x)=1$

En general, operaciones como $\int$ , $\sum$ , $\max$ y $\forall$ simplemente suma una función $f(x)$ sobre un conjunto. La "suma" en este caso debe interpretarse de forma abstracta como una operación monoide conmutativa. Y en el caso de $\int$ La suma debe "reducirse" para que no explote.