Resolver sistemas de ecuaciones

Question

Tenía un sistema de ecuaciones y quiero saber el método perfecto para resolver:

Resolver $X, Y, Z$ donde: $\$

$X^² = Y + a$

$Y^² = Z + a$

$Z^² = X + a$

Answer 1

Usted puede convertir en un único polinomio $$X=Z^2-a\\Y=(Z^2-a)^2-a\\((Z^2-a)^2-a)^2=Z+a$$
Este es un grado-8 polinomio en $Z$, por lo que no hay una fórmula para su solución, pero el software puede resolver.
Dos de las soluciones son las soluciones a $Z^2=Z+a$, que se pueden resolver con la fórmula cuadrática. Los otros seis soluciones de forma triples $Z,Z^2-a,(Z^2-a)^2-a$

De acuerdo a la teoría de Galois, la simetría que las triples tienen hace que sea más sencillo. Obedecen cúbicas cuyos coeficientes son de segundo grado en $a$. Si $b$ $c$ son las raíces de $x^2+x+2=a$, entonces creo que el original octic factores de esta manera:

$$(Z^2-Z-a)(Z^3+(1+b)Z^2+(b-a)Z-1-ab).\\(Z^3+(1+c)Z^2+(c-a)Z-1-ac)$$

Así que usted puede obtener soluciones exactas como una función de la $a$, si usted sabe cómo resolver cúbicas.