Pruébalo: $x_1\cdot x_2\cdots x_n>y_1\cdot y_2\cdots y_m$ .

Question

Para dos secuencias enteras positivas $x_1,x_2,\ldots,x_n$ y $y_1,y_2,\ldots,y_m$ Satisfaciendo a

• $x_i\neq x_j\quad \text{and}\quad y_i\neq y_j\quad \forall i,j, i \ne j$

• $1<x_1<x_2<\cdots<x_n<y_1<\cdots<y_m.$

• $x_1+x_2+\cdots+x_n>y_1+\cdots+y_m.$

Pruébalo: $x_1\cdot x_2\cdots x_n>y_1\cdot y_2\cdots y_m$ .

(de Internet)

No tengo una idea para este problema. Gracias por su ayuda.

Answer 1

Este es mi enfoque.

Demuestra la siguiente versión en su lugar.

Para dos enteros positivos $x_1,x_2,...,x_n$ y $y_1,y_2,...,y_m$ que satisfacen

1. $ x_i \neq x_j\quad \text{and}\quad y_i\neq y_j\quad \forall 1 < i < j $ ,

2. $ 1<x_2<...<x_n<y_2<...<y_m, $ y $ 1 \leq x_1 $ y $ 1 \leq y_1 $

3. $x_1+x_2+ \ldots +x_n > y_1+ \ldots +y_m.$

Pruébalo: $ x_1 \times x_2 \times \cdots \times x_n \geq y_1 \times y_2 \times \cdots y_m$ .

Esta versión es mucho más fácil de trabajar. A continuación, demostramos la desigualdad estricta observando los casos de igualdad.

Sugerencia: piense en lo que $ x_1, y_1 $ se puede hacer.
Pista: ¿Cómo minimizarías el LHS y maximizarías el RHS?
Sugerencia: Trate con $m=1 $ por separado, lo que da lugar al caso de igualdad. La versión original para $m=1$ es sencillo.

Answer 2

Cambia el nombre en una secuencia:

Escriba $x_i=1+\sum_{k=1}^{i} a_k$ Es decir $x_1=1+a_1$ , $x_2=x_1+a_2$ etc.

y $y_i=1+\sum_{k=1+n}^{i+n} a_k$

Su segunda hipótesis implica la primera, y dice $$\forall\, i \quad a_i>0.$$

Su tercera hipótesis es $$ \sum_{i=1}^n(1+\sum_{k=1}^i a_i) > \sum_{i=1+n}^{m+n}(1+\sum_{k=1}^i a_i), $$ En otras palabras

$$ n+na_1+(n-1)a_2+\ldots+a_n>m+m(a_1+\ldots+a_n)+(m-1)a_{n+1}+\ldots+a_{n+m} $$ y se quiere encontrar el mínimo de $$ \Pi_{i=1}^n\left(1+\sum_{k=1}^i a_i\right)-\Pi_{i=1+n}^{n+m}\left(1+\sum_{k=1}^{i+n} a_i\right) $$ Parece un buen problema de multiplicador de Lagrange.