Hace un elegido al azar de las series divergen?

Question

Elegir un punto al azar en el intervalo $[0,1]$, llame a $P_1$.

Elegir otro punto al azar en el intervalo $[0,P_1]$, llame a $P_2$.

Elegir otro punto al azar en el intervalo $[0,P2]$, llame a $P_3$.

Etc...

Vamos $S = P_1+P_2+P_3+\cdots$

¿Cuál es la probabilidad de que la $S$ es divergente?

Los pensamientos?

P. S. al azar, en este caso en particular, significa equidistributed. I. e. $P(a<P_1<b)=b-a$.

Answer 1

Por cada $k$, $\mathbb E(P_k)=1/2^k$ por lo tanto: $$\mathbb E(S) = \mathbb E(P_1)+\mathbb E(P_2)+\cdots = 1/2 + 1/4 + \cdots= 1$$ Desde $\mathbb E(S)$ es finito se sigue que $P(S=\infty) = 0$, de lo contrario, la expectativa de $\mathbb E(S)$ sería infinito.