¿Cómo se demuestra que un plano que interseca un cono da una elipse?

Question

Sé por qué también puede dar una parábola cuando la inclinación del plano es igual a la inclinación del cono o una hipérbola cuando la inclinación del plano es paralela al eje del cono, pero no entiendo matemáticamente cómo puede dar una elipse. Lo que he intentado hasta ahora es sustituir la ecuación de un plano por $z=my-c \ $ en la ecuación de un cono, lo que da como resultado \begin{array}{rcl} \dfrac{(h-my+c)^2}{h^2} &=& \dfrac{x^2+y^2}{r^2} \\[0,4cm] \iff \dfrac{(h+c)^2-2(h+c)my+m^2y^2}{h^2} &=& \dfrac{x^2+y^2}{r^2} \\[0,4cm] \iff \dfrac{h^2+2hc+c^2-2hmy-2cmy+m^2y^2}{h^2} &=& \dfrac{x^2+y^2}{r^2} \\[0,4cm] \iff r^2\left(1+\dfrac{2c}{h}+\dfrac{c^2}{h^2}-\dfrac{2my}{h}-\dfrac{2cmy}{h^2} + \dfrac{m^2y^2}{h^2}\right) &=& x^2+y^2 \\[0,4cm] \iff r^2+\dfrac{2cr^2}{h}+\dfrac{c^2r^2}{h^2} - \dfrac{2r^2my}{h} - \dfrac{2r^2cmy}{h^2} + \dfrac{r^2m^2y^2}{h^2} &=& x^2+y^2 \\[0,4cm] \iff A - By - Cy + Dy^2 &=& x^2+y^2 \\[0,4cm] \iff \alpha y^2+\beta y + \gamma &=& x^2+y^2 \\[0,4cm] \end{array} pero no veo cómo esta última ecuación puede transformarse en una ecuación de una elipse.

Gracias de antemano.

Answer 1

La ecuación se transforma en $$x^2 + (1-\alpha) y^2 - \beta y + \gamma = 0 $$ Si $\alpha < 1$ entonces, completando el cuadrado en el $y$ -terms, obtendrá una ecuación con el formato $$x^2 + \underbrace{A^2}_{1-\alpha}(y-b)^2 = (\text{constant}) $$ Si la constante del lado derecho es positiva, has terminado porque es la ecuación de una elipse.

Aún queda trabajo por hacer, concretamente verificar que $\alpha < 1$ y que la constante es positiva, pero eso debería darte una idea.

Answer 2

Si llevas todo al mismo lado habrás acabado con algo en la forma $$ x^2 + Ay^2 + By + C = 0 $$ Esperemos que $A$ es positivo; de lo contrario no puedes obtener una elipse. No he comprobado tus cálculos hasta ahora, pero si todo funciona deberías poder demostrar que esto es así exactamente cuando la inclinación de tu plano es más plana que la inclinación del cono.

¡Ahora completa el cuadrado! Tenemos $$ A\bigr(y-\tfrac {-B}{2A}\bigl)^2 = Ay^2 + By + \tfrac{B^2}{4A^2}$$ por lo que su ecuación anterior es la misma que $$ x^2 + A\bigl (y-\tfrac{-B}{2A}\bigr )^2 = -C - \tfrac{B^2}{4A^2} $$ que debería ser reconocible como una elipse paralela al eje centrada en $(0,\tfrac{-B}{2A})$ .

Dado que la intersección es intuitivamente no vacía, $-C-\tfrac{B^2}{4A^2}$ es necesariamente no negativo.

Answer 3

Los lados del cono tienen pendiente $\frac hr$ en relación con el $x,y$ plano. El plano $z = my - c$ tiene pendiente $m.$ Si $\lvert m\rvert \geq \left\lvert\frac hr\right\rvert$ entonces, de hecho no obtener una elipse, sino más bien una parábola o una hipérbola. Supongamos que has configurado el cono y el plano de forma que $\lvert m\rvert < \left\lvert\frac hr\right\rvert.$ Supongamos también que $h$ y $r$ son ambos distintos de cero, ya que de lo contrario se tiene un cono degenerado, que no produce una elipse.

Has comprobado que esta ecuación se satisface a lo largo de la intersección del cono y el plano: $$r^2+\frac{2cr^2}{h}+\frac{c^2r^2}{h^2} - \frac{2r^2my}{h} - \frac{2r^2cmy}{h^2} + \frac{r^2m^2y^2}{h^2} = x^2+y^2.$$

Esto equivale a $$ 0 = x^2 + \left(1 - \frac{r^2m^2}{h^2}\right)y^2 + \left(\frac{2r^2m}{h} + \frac{2r^2cm}{h^2}\right)y - \left(r^2+\frac{2cr^2}{h}+\frac{c^2r^2}{h^2}\right). \tag 1$$

Pero como $\lvert m\rvert < \left\lvert\frac hr\right\rvert,$ se deduce que $m^2 < \frac{h^2}{r^2},$ y puesto que $h^2$ y $r^2$ son ambas positivas, $\frac{r^2 m^2}{h^2} < 1.$ Por lo tanto $$1 - \frac{r^2m^2}{h^2} > 0,$$ que es la condición necesaria para que la ecuación $(1)$ sea la ecuación de una elipse.

Una advertencia: todo esto sólo prueba que la proyección ortogonal de la intersección del cono y el plano sobre el $x,y$ plano es una elipse. Esto no demuestra inmediatamente que la intersección sea una elipse. Técnicamente, para completar la prueba hay que demostrar que bajo proyección ortogonal sobre el $x,y$ el plano, la preimagen de una elipse es también una elipse (o posiblemente un círculo, aunque también debe ser capaz de demostrar que la preimagen es un círculo sólo si $m = 0$ ).