¿Disparar contra un club puede colapsar a los cardenales?

Question

Deje $S$ ser estacionaria costationary subconjunto de $\omega_1$ y deje $\mathbb{P}$ será el habitual poset que dispara un club a través de $S$ (con el cierre de segmentos inicial, ordenados por fin-extensión). Qué $\mathbb{P}$ de la fuerza de CH?

Por supuesto, si CH ya se mantiene, entonces se mantiene en la extensión, puesto que $\mathbb{P}$ no agrega reales. También, si no asumimos que $S$ es costationary, la respuesta es sí, ya que la intersección de los genéricos club con el club contenida en $S$ códigos de Cohen subconjunto de $\omega_1$.

Estoy interesada en este asunto, porque me gustaría saber más acerca de lo que el genérico club parece. Es evidente que un nuevo subconjunto de $\omega_1$ (en el sentido de que todos sus segmentos inicial en el modelo de terreno), pero me pregunto si también los códigos de la planta modelo de reales de alguna manera.

Yo también agradecería recibir comentarios acerca de la situación en las grandes cardenales $\kappa$ ($S$ adecuadamente la grasa).

Answer 1

A menos que yo estoy entendiendo el forzamiento, creo que la respuesta es sí:

Deje $G$ ser un genérico club. Para$\alpha\in G$$n\in\omega$, vamos a $\alpha_n$ $n$ésimo elemento de a $G$ después $\alpha$. Ahora dicen que el ordinal $\beta\in S$ es $S$-sucesor si hay un $\gamma\in S$ $\gamma<\beta$ tal que $S\cap (\gamma,\beta)=\emptyset$, e $\beta\in S$ es $S$-límite de lo contrario. Tenga en cuenta que $S$ contiene $\omega_1$-muchos de los $S$-límites y $S$-sucesores.

Ahora, considere el real $$r(\alpha)=\{n: \alpha_n\mbox{ is an $S$-successor}\}.$$ I believe that every ground model real will generically appear as $r(\alpha)$ for some $\alpha$; and this gives a surjection in $V[G]$ from $\omega_1$ to $\mathbb{R}$.

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Creo que una similar truco funciona para arbitrario $\kappa$. Definir $\alpha_\eta$ por $\eta<\kappa$, con la salvedad de que si $\eta$ es un límite, a continuación, $\alpha_\eta$ $(\eta+1)$ésimo elemento de a $G$ después $\alpha$ (desde el límite de elementos de $G$ se ven obligados a ser $S$-límites). Entonces, la definición de $r(\alpha)$ como en el anterior, creo que cada planta subconjunto de $\kappa$ es representado como $r(\alpha)$ algunos $\alpha$, por lo que la extensión genérica satisface $2^\kappa=\kappa^+$.

Answer 2

Después de la lectura de Noé respuesta, me di cuenta de que, en realidad, forzando a con $\mathbb{P}$ agregará una Cohen subconjunto de $\omega_1$, independientemente de si $S$ es costationary o no. Entonces, esto también responde a la pregunta (y le da otro tipo de información). $\newcommand{\P}{\mathbb{P}}$

Hay una proyección de $\P$ $\operatorname{Add}(\omega_1,1)$que funciona de la siguiente manera: dada una condición de $p\in\P$ deje $p_\xi$ su $\xi$elemento th. Podemos interpretar $p_{\xi+1}$ como dar la $\xi$th poco de una condición en la $\operatorname{Add}(\omega_1,1)$, en función de si $p_{\xi+1}$ es un punto aislado de a $S$ o no. Deje $p^*\in\operatorname{Add}(\omega_1,1)$ a ser la condición derivada de $p$ de esta manera.

La clave para ver que el mapa de $p\mapsto p^*$ es una proyección, es el hecho de que cualquier estacionaria subconjunto de $\omega_1$ es grasa, lo que significa que contiene cerrado copias de cualquier $\alpha<\omega_1$. Así, dada una Cohen condición de $q\leq p^*$, $S$ cerrado copia de una gran contables sucesor ordinal anterior $\max(p)$ que nos da el espacio suficiente para que el código de la información adicional de $q$ a $\bar{p}\leq p$$\bar{p}^*\leq q$.

El mismo argumento debería trabajo para mostrar que los disparos de un club a través de una grasa estacionaria subconjunto de $\kappa$ agrega Cohen subconjunto de $\kappa$.