Cómo probar$H\left(\frac{1}{4}\right)=\frac{e^{\frac{C}{4\pi}-\frac{3}{32}}\cdot A^{\frac{9}{8}}}{\sqrt 2}$

Question

Cómo probar: $$ H\left(\frac{1}{4}\right) = \frac {e ^ {\frac {C} {4\pi}-\frac 3:32} \cdot A ^ {\frac {9} {8}}} {\sqrt 2} $$ $C$ Dónde está número, % el catalán $A$es constante de Glaisher Kinkelin y $H(x)$ es el hyperfactorial generalizada dada por: $$ H (n) = \ prod {k = 1} ^ {n} k ^ k $$ $$ H(x-1) = \lim {n\to\infty} \frac{e^{\frac{1}{2}x(x+1)} \cdot n^{xn+\frac{1}{2}x(x+1)} \cdot h (n)} {x ^ x\cdot (1 + x) ^ {1 + x} \cdots (n + x) ^ {n + x}} $$

Answer 1

Utilizaremos $(3)$ desde aquí.

$$H(z-1)G(z)=e^{(z-1)\ln\Gamma(z)},$$

donde $G$ es el Barnes de la función G y $\Gamma$ es la función Gamma.

En nuestro caso especial

$$H\left(\frac 14\right)=\frac{e^{\frac 14 \ln \Gamma\left(5/4\right)}}{G\left(\frac 54\right)}.$$

La parte más fácil del problema es a ver que

$$e^{\frac 14 \ln \Gamma\left(5/4\right)}=\frac{\sqrt 2}{2} \Gamma\left(\frac 14\right)^{1/4}.$$

De J. Choi y H. M. Srivastava Ciertas Clases de Serie que Involucran la Función Zeta de la página $92$$94$, se podría derivar que

$$G\left(\frac 54\right) = e^{3/32\,-\,G/(4\pi)}\,A^{-9/8}\,\Gamma\left(\frac 14\right)^{1/4},$$

aquí $G$ denota catalán constante, y $A$ es el Glaisher–Kinkelin constante.

A partir de aquí se trata de que

$$H\left(\frac{1}{4}\right)=\frac{e^{\frac{G}{4\pi}-\frac{3}{32}}\cdot A^{\frac{9}{8}}}{\sqrt 2}.$$