En primer lugar, identificar $X$ con su imagen $\iota(X)$ en $\beta X$ . Ahora, recuerda la propiedad universal para $\beta X$ :
Por cada $f\in C_b(X,\mathbb{R})$ existe un único $\overline{f}\in C(\beta X,\mathbb{R})$ ampliando $f$ .
Tenga en cuenta que, si $f\in C_b(X,\mathbb{R})$ es idempotente, entonces también lo es su extensión $\overline{f}\in C(\beta X,\mathbb{R})$ (para demostrarlo, utilice los hechos que $\mathbb{R}$ es Hausdorff y $X$ es denso en $\beta X$ ). Además, como $X$ es denso en $\beta X$ entonces, para cualquier $F,G\in C(\beta X,\mathbb{R})$ tenemos $$\sup\left\{|F(x)-G(x)|:x\in\beta X\right\}=\sup\left\{|F(x)-G(x)|:x\in X\right\}.$$
Con esto, concluimos que el tramo lineal de los idempotentes es denso en $C(\beta X,\mathbb{R})$ con sup-norma.
Ahora, dejemos que $x\neq y$ en $\beta X$ . Por la afirmación anterior (y el lema de Urysohn), existe un idempotente $g\in C(\beta X,\mathbb{R})$ tal que $g(x)\neq g(y)$ . Se deduce fácilmente que, para cualquier subconjunto $Y\subseteq \beta X$ que contiene $x$ y $y$ tenemos $g(Y)=\left\{0,1\right\}$ que está desconectado. Como $g$ es continua, $Y$ no se puede conectar.
En conclusión, cualquier subconjunto de $\beta X$ con 2 o más elementos no se pueden conectar. Esto significa que $\beta X$ está totalmente desconectado.
Este es un caso particular de una propiedad más general: Si $A$ es cualquier álgebra de Banach en la que el tramo lineal de los idempotentes es denso, entonces su espectro (si no está vacío) es totalmente desconectado (si cambiamos $\mathbb{R}$ por $\mathbb{C}$ ). En el problema que has dado, $A=C_b(X,\mathbb{R})\sim C(\beta X,\mathbb{R})$ y su espectro es (homeomorfo a) $\beta X$ .
