En primer lugar, la restricción en ordp(2) puede ser más de forma sucinta como este: Desde 4k2+1=5mod k impar, \pmatrix{\frac2p}=-1 2 no es un residuo cuadrático \bmod p. Por lo tanto todos los factores de 2 p-1 tiene que estar presente en \operatorname{ord}_p(2), y desde k es el primer y 4 no es una opción, que deja sólo a4k4k^2.
La "probabilidad" de que \operatorname{ord}_p(2)=4k1/k. A ver si esperar un número finito de ejemplos de esto, y si es así, ¿qué esperar, podemos usar 2/\log x para la "probabilidad" de que un número impar x es primo. A continuación, la "probabilidad" de que k es primo, p es el primer y \operatorname{ord}_p(2)=4k es
\frac4{k\log k\log(4k^2+1)}\;.
El número esperado de ejemplos es la suma de este "probabilidad" sobre todos los enteros impares, que converge (como la suma de 1/(k\log^2k) converge por la integral de la prueba) y se evalúa a cerca de 0.9136.
Realmente podemos hacer algo mejor que esto: Hemos tenido en cuenta que el 4k^2+1 ha residuo 1\bmod2, pero no que también sabemos algo acerca de sus residuos con respecto a los otros primos. Tener p\equiv0\bmod q por alguna extraña prime q, debemos tener 4k^2=(2k)^2\equiv-1\bmod q, lo -1 debe ser un residuo cuadrático \bmod q, el cual es el si \pmatrix{\frac{-1}q}=1, que es el si q\equiv1\bmod4. En este caso, de la q-1 posibles residuos de k\bmod q, hay dos que harían 4k^2+1 divisible por q, mientras que si -1 es un no residuo, no hay ningún tipo de residuos de k\bmod q. La estimación de 2/\log(4k^2+1) para la "probabilidad" de 4k^2+1 prime incluye un factor de (q-1)/q por cada impar primo, y tenemos que sustituir esto por \left(q-2-\pmatrix{\frac{-1}q}\right)/(q-1), es decir, tenemos que multiplicar por un factor corrector de
\prod_q\frac{q\left(q-2-\pmatrix{\frac{-1}q}\right)}{(q-1)^2}\;,
donde el producto es más de todos los impares primos. Este evalúa a cerca de 1.106. Podemos comprobar este resultado mediante el cálculo del número esperado de números primos p hasta un cierto valor de k y comparando con el número real; para k\lt5800 hay 107 primos p, y las "probabilidades" de p primo, corregido por el factor y se suman a lo largo de todos los impares primos k\lt5800, el rendimiento de un número esperado de alrededor de 106.
La combinación de los dos resultados, esperamos que sobre
\sum_{n=1}^\infty\frac4{(2n+1)\log (2n+1)\log(4(2n+1)^2+1)}\prod_q\frac{q\left(q-2-\pmatrix{\frac{-1}q}\right)}{(q-1)^2}\approx1.011
ejemplos. Por lo tanto, dado que no es necesariamente un número entero de ejemplos, su empíricos hallazgo de un ejemplo es exactamente lo que se podría haber esperado y no requiere más explicación. Tenga en cuenta también que mientras el individuo la "probabilidad" de k=193 es bastante pequeño (\approx0.04\%), la suma de los términos más allá de k=150 es de aproximadamente una quinta parte de la suma total, por lo que la aparición de el ejemplo en el que un alto valor de k tampoco es estadísticamente significativa.