En primer lugar, la restricción en $\operatorname{ord}_p(2)$ puede ser más de forma sucinta como este: Desde $4k^2+1=5\bmod8$ $k$ impar, $\pmatrix{\frac2p}=-1$ $2$ no es un residuo cuadrático $\bmod p$. Por lo tanto todos los factores de $2$ $p-1$ tiene que estar presente en $\operatorname{ord}_p(2)$, y desde $k$ es el primer y $4$ no es una opción, que deja sólo a$4k$$4k^2$.
La "probabilidad" de que $\operatorname{ord}_p(2)=4k$$1/k$. A ver si esperar un número finito de ejemplos de esto, y si es así, ¿qué esperar, podemos usar $2/\log x$ para la "probabilidad" de que un número impar $x$ es primo. A continuación, la "probabilidad" de que $k$ es primo, $p$ es el primer y $\operatorname{ord}_p(2)=4k$ es
$$\frac4{k\log k\log(4k^2+1)}\;.$$
El número esperado de ejemplos es la suma de este "probabilidad" sobre todos los enteros impares, que converge (como la suma de $1/(k\log^2k)$ converge por la integral de la prueba) y se evalúa a cerca de $0.9136$.
Realmente podemos hacer algo mejor que esto: Hemos tenido en cuenta que el $4k^2+1$ ha residuo $1\bmod2$, pero no que también sabemos algo acerca de sus residuos con respecto a los otros primos. Tener $p\equiv0\bmod q$ por alguna extraña prime $q$, debemos tener $4k^2=(2k)^2\equiv-1\bmod q$, lo $-1$ debe ser un residuo cuadrático $\bmod q$, el cual es el si $\pmatrix{\frac{-1}q}=1$, que es el si $q\equiv1\bmod4$. En este caso, de la $q-1$ posibles residuos de $k\bmod q$, hay dos que harían $4k^2+1$ divisible por $q$, mientras que si $-1$ es un no residuo, no hay ningún tipo de residuos de $k\bmod q$. La estimación de $2/\log(4k^2+1)$ para la "probabilidad" de $4k^2+1$ prime incluye un factor de $(q-1)/q$ por cada impar primo, y tenemos que sustituir esto por $\left(q-2-\pmatrix{\frac{-1}q}\right)/(q-1)$, es decir, tenemos que multiplicar por un factor corrector de
$$\prod_q\frac{q\left(q-2-\pmatrix{\frac{-1}q}\right)}{(q-1)^2}\;,$$
donde el producto es más de todos los impares primos. Este evalúa a cerca de $1.106$. Podemos comprobar este resultado mediante el cálculo del número esperado de números primos $p$ hasta un cierto valor de $k$ y comparando con el número real; para $k\lt5800$ hay $107$ primos $p$, y las "probabilidades" de $p$ primo, corregido por el factor y se suman a lo largo de todos los impares primos $k\lt5800$, el rendimiento de un número esperado de alrededor de $106$.
La combinación de los dos resultados, esperamos que sobre
$$\sum_{n=1}^\infty\frac4{(2n+1)\log (2n+1)\log(4(2n+1)^2+1)}\prod_q\frac{q\left(q-2-\pmatrix{\frac{-1}q}\right)}{(q-1)^2}\approx1.011$$
ejemplos. Por lo tanto, dado que no es necesariamente un número entero de ejemplos, su empíricos hallazgo de un ejemplo es exactamente lo que se podría haber esperado y no requiere más explicación. Tenga en cuenta también que mientras el individuo la "probabilidad" de $k=193$ es bastante pequeño ($\approx0.04\%$), la suma de los términos más allá de $k=150$ es de aproximadamente una quinta parte de la suma total, por lo que la aparición de el ejemplo en el que un alto valor de $k$ tampoco es estadísticamente significativa.
