Propiedades de la categoría de espacios topológicos con $n$ apunta.

Question

Recientemente he encounted un problema en mi lectura, la cual parece ser la forma más natural que sea su enunciado si la categoría trabajamos en pasó de la categoría de $\textbf{Top}^*$ de punta espacios topológicos, a la categoría de $\textbf{Top}^{*n}$ de los espacios topológicos con un conjunto ordenado de $n$ distintos basepoints y continua de los mapas de entre ellos que preservar la orden de punto de base establecida.

Deje $X$ ser un espacio topológico y deje $A=\{x_1,\ldots,x_n\}\subseteq X$ es baspoint conjunto para algunas natural finito número de $n$.

Estoy particularmente interesado en la homotopy de estos espacios y por lo tanto creo que probablemente es natural considerar la relación fundamental groupoid $\pi_1(X,A)$ de estos espacios. Yo no sé mucho acerca de la fundamental groupoid de un espacio a pesar de que otros de definiciones básicas. Me pregunto si alguien podría esbozar cuáles son las propiedades que podemos ganar y perder, considerando la categoría de $\textbf{Top}^{*n}$ lugar de la categoría $\textbf{Top}^*$. Por ejemplo, esta categoría tiene todavía un objeto inicial que es el conjunto finito de $n$ elementos con la topología discreta sin embargo, no creo $\textbf{Top}^{*n}$ ha terminal de objetos. Esta categoría tiene todavía un subproducto dado por la identificación del punto de base de conjuntos de dos objetos de elemento sabio con respecto a su orden (una especie de cuña producto en $n$ puntos), pero no está claro que todavía tenemos productos. Cómo podrían estas propiedades cambian si soltamos nuestra categoría para incluir mapas que posiblemente permutar el orden del punto de base?

Además, ¿cómo la fundamental groupoid functor $\pi_1(.,A)$, lo que tarda un objeto en $\textbf{Top}^{*n}$ a su fundamental groupoid $\textbf{Top}^{*n}$ respecto a su punto de base set $A$, se diferencian de los habituales grupo fundamental de la functor. Si hay un functor que tarda un objeto en $\textbf{Top}^{*n}$$\textbf{Top}^*$, no esta inducir un functor $\textbf{Grpd}_n\rightarrow \textbf{Grp}$ a partir de la categoría de groupoids con $n$ objetos a la categoría de grupos (posiblemente a través de la clasificación de los espacios?)?

Espero que las preguntas que yo le he pedido están estrechamente relacionados el uno al otro lo suficiente que no tengo necesidad de romper esta en a las múltiples preguntas. Si alguien piensa que sería sabios, sin embargo, por favor siéntase libre de dejar un comentario y yo se considere la posibilidad de hacerlo.

Answer 1

Voy a hablar de la categoría de propiedades. Vamos más general, $B$ un espacio topológico (genéricos de los puntos de base) y se denotan por $\mathsf{Top}_B$ la subcategoría plena de la rebanada de la categoría $B \downarrow \mathsf{Top}$ cuyos objetos son inyectiva continua mapas de $B \to X$. El olvidadizo functor $B \downarrow \mathsf{Top} \to \mathsf{Top}$ crea todos los límites, de hecho es una monada, con su correspondiente mónada $B + (-)$$\mathsf{Top}$. Esta mónada también conserva dirigida colimits, por lo que el olvidadizo functor también crea dirigida colimits.

No es difícil ver que $\mathsf{Top}_B \subseteq B \downarrow \mathsf{Top}$ es estable bajo no vacíos de productos (es decir, excluyendo el terminal de objeto), ecualizadores, así como bajo dirigida colimits: Por ejemplo, si $(B \to X_i)_{i \in I}$ es un no-vacío familia de objetos en $\mathsf{Top}_B$ $(B \to \prod_i X_i)_{i \in I}$ es su producto en el segmento de la categoría, a continuación, $B \to \prod_i X_i$ es inyectiva ya que la composición con algunos de proyección $\mathrm{pr_i}$ (que existe desde $I \neq \emptyset$) da la inyectiva mapa de $B \to X_i$. Por lo tanto, este es también el producto en $\mathsf{Top}_B$. Los ecualizadores son fáciles de manejar, debido a que son inyectiva, y dirigida colimits uso justo que dos elementos son iguales si son iguales en algún momento.

El olvidadizo functor $\mathsf{Top}_B \to \mathsf{Top}$ tiene un adjunto a la izquierda, el envío de $X$$B \hookrightarrow B+X$. En particular, conserva todos los límites. Por lo tanto, el espacio subyacente de un terminal de objeto tiene un solo punto, lo que implica que $B$ es sólo un punto, y llegamos $\mathsf{Top}_*$, la cual se completa y cocomplete. Si $B$ es más que un punto, no hay ningún terminal de objeto.

Co-productos en $B \downarrow \mathsf{Top}$ son pushouts en $\mathsf{Top}$$B$. Uno puede comprobar que $\mathsf{Top}_B$ es cerrado bajo ellos, mediante la construcción explícita de pushouts. Esto también incluye la inicial del objeto. Estoy bastante seguro de que coequalizers no existen, pero yo no tengo un ejemplo ahora mismo (por supuesto que no es suficiente para ver que el olvidadizo functor no crearlos).

Hay un gran producto en $B \downarrow \mathsf{Top}$ $X \wedge Y = (X \times Y) / (b,y) \sim (x,b')$ donde $b$ $b'$ ejecutar a través de todos los puntos de base. Pero $\mathsf{Top}_B$ no es cerrado bajo cuando $B$ es más que el punto justo, porque todos los puntos de base se identifica.

Resumen:

• $\mathsf{Top}_B$ tiene un no-vacío límites, dirigido colimits, co-productos
• $\mathsf{Top}_B$ no tiene terminal de objeto, coequalizers, smash productos