¿Discutir el differentiability de $e^{-|x|}$?

Question

¿Discutir el differentiability de $e^{-|x|}$?

---

He intentado algo como dominios de $2$, $x\ge 0$ y $x

$e^{-|x|} = e^{-x} | x\ge 0$

y

$e^{-|x|} = e^{x} | x

Usando la definición del differentiability,

$$\lim{x \to 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim{x \to 0^+}\frac{e^{-x}-1}{x} = -1$$

y del mismo modo

$$\lim{x \to 0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim{x \to 0^-}\frac{e^{x}-1}{x} =+1$$

Por lo tanto, puedo decir que no es diferenciable en $x=0$.

---

¿Es mi entendimiento correcto o me falta algo?

Answer 1

El conjeturar que $e^{-|x|}$ no es diferenciable en $x=0$ es correcto. Desde $e^{0}=1$, obtenemos $$ \lim{x\to 0+}\frac{f(x)-f(0)} {x-0} = 1 $y$$ \lim{x\to 0-}\frac{f(x)-f(0)} {x-0} = 1. $$

• Ccuando yo esto, la pregunta original era segunda revisión y así escribí que el razonamiento tiene un fallo, pero el post original fue revisado y el defecto se ha ido.