Teoría elemental del número y la raíz primitiva

Question

Tengo una pregunta sobre raíz primitiva. El problema es:

Demostrar que $3$ es una raíz primitiva de $7^k$ ($k\ge 1$)

Trato de usar inducción matemática sobre k. Pero, no sé cómo solucionarlo. Si me das algunos consejos, luego te lo agradeceria :) Gracias.

Answer 1

El uso de Demostrar que una raíz primitiva de $p^2$ también es una raíz primitiva de $p^n$$n>1$.,

Permítanme indicar ord$_ma$ a ser Multiplicativa orden de $a\pmod m$

mostrar que ord$_73=6=7-1$ es decir, $3$ es una raíz primitiva $\pmod7$

De nuevo, a partir de esto, podemos probar ord$_{(7^2)}3=6$ o $7\cdot6$

Pero $\displaystyle3^6=729\not\equiv1\pmod{7^2}\implies$

ord$\displaystyle_{(7^2)}3=6\cdot7=\phi(7^2)$ es decir, $3$ es una raíz primitiva $\pmod{7^2}$