¿Para lo que prime los valores de $p$ % de la ecuación $a+a^{-1}=1$ser verdad $a\in \mathbb F_{p}$ tal que $a \ne0$? Traté de contar los elementos de campo que son inversas y de cada uno jugando con aritmética modular, pero parece que no puedo hacer ejercicio.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Tomamos nota de que $a + a^{-1} = 1$ si y sólo si $a^2 - a + 1 = 0$.
Ahora tenga en cuenta que$a^3 + 1 = (a+1)(a^2 - a + 1) = 0$$a^3 = -1$, pero $a\neq -1$ si $p\neq 3$, ya que de lo contrario $-2 = (-1) + (-1)^{-1} = 1$$p=3$.
Conversly, ya $a^3 + 1 = (a+1)(a^2 - a + 1)$, obtenemos que si $a^3 = -1$$a\neq -1$,$a^2 - a + 1 = 0$.
Observación 1: Si $p\neq 3$: $a + a^{-1} = 1$ se produce si y sólo si $a^3 = -1$$a\neq -1$.
Yo te daré las indicaciones para el resto, al $p\neq 3$:
Pregunta: ¿Cuál es el orden de $a$ ? Lo que hace que implica recordando Fermat Poco Teorema?
Por el contrario : Recuerde que ${\mathbb F}_p^\times$ es cíclica, es decir el grupo multiplicativo), utilice esta opción para mostrar el $p$ como se encuentra, hay al menos un $a$ satisfacción $a+a^{-1}=1$.
Observación 2 Esta prueba funciona en realidad finita campos de $F$ con un cambio menor. De hecho, el cambio de $p\neq 3$ por encima de $\text{char}(F) \neq 3$, ya que el carácter $3$ podemos tomar $a=-1$.
Editar Una más rutinarios manera probablemente sería la siguiente: $a^2 - a + 1 = 0$ si y sólo si $(2a-1)^2 = -3$, lo $-3$ debe ser distinto de cero residuos cuadráticos si $p\neq 3$. Siguiente ¿qué es $\left(\tfrac{-1}{p}\right)$? y el uso de la reciprocidad cuadrática para encontrar $\left(\tfrac{3}{p}\right)$, no olvides $\left(\tfrac{p}{3}\right)\equiv p (\bmod. 3)$. Usted recibirá una congruencia para $p(\bmod. 3)$, y convertirlo en un $\bmod.6$ mediante la observación de que $p$ no puede ser aún ;)
