Si existe una cubierta abierta irreductible, el espacio es irreducible.

Question

¿Si un espacio topológico $X$ tiene una cubierta abierta ${ U_i }$ tal que cada $U_i$ es irreducible y cada $i,j$, $U_i \cap U_j \neq \emptyset$, entonces es $X$ irreducible?

Encontré espacio admitiendo una irreducible conectado cubierta abierta es irreducible , pero creo que esto es incorrecto.: Si esta respuesta fuera correcta, cada esquema sería afín.

Answer 1

Es cierto. Vamos $U$, $V$ ser cualquiera de los dos no vacía de subconjuntos abiertos de $X$. Queremos mostrar que $U\cap V\ne \emptyset$. Desde $\{U_i\}$ es una cubierta, debe haber alguna $i,j$ tal que $U_i\cap U\ne\emptyset$$U_j\cap V\ne\emptyset$. Desde $U_i\cap U$ $U_i\cap U_j$ son no vacía de subconjuntos abiertos de $U_i$ $U_i$ es irreductible, $U_i\cap U_j\cap U=(U_i\cap U_j)\cap(U_i\cap U)\ne\emptyset$. Por último, desde el $U_i\cap U_j\cap U$ $U_j\cap V$ son no vacíos abrir subconjunto de $U_j$ $U_j$ es irreducible, entonces $U_i\cap U_j\cap V\cap U=(U_i\cap U_j\cap U)\cap(U_j\cap V)\ne\emptyset$.

No acabo de peso en el esquema de la parte, pero probablemente lo que usted tiene para ellos es una situación en la $U_1\cap U_2$ $U_2\cap U_3$ son no vacíos, mientras que $U_1\cap U_3=\emptyset$.

Agregado: Para el registro, vamos a recordar la definición de irreductible (o hiperconectado) topológica del espacio: encyclopediaofmath.org, Wikipedia.