$\prod\left(1-p_n\right)>0$

Question

Quiero probar que si$0\le p_n<1$ y$\sum p_n<\infty$, entonces$\prod\left(1-p_n\right)>0$.

Hay una pista: primero considere el caso$\sum p_n<1$, y luego muestre que$\prod\left(1-p_n\right)\ge1-\sum p_n$.

¿Cómo puedo usar esta sugerencia para mostrar la declaración anterior?

Answer 1

Por qué es suficiente para probar la pista : supongamos$\sum p_n < \infty$. Entonces hay un entero$N$ tal que$\sum_{n \geq N} p_n < 1$. Ahora observe que tanto$\prod_{n < N} (1-p_n)$ (un producto finito) como$\prod_{n \geq N} (1-p_n)$ (usando la sugerencia) son positivos.

Answer 2

Como$1-x\geq \exp\left(-\frac{x}{1-x}\right)$ para cualquier$x\in[0,1)$, se deduce que:$$\prod(1-p_n)\geq \exp\left(-\sum \frac{p_n}{1-p_n}\right),$ $ pero como$\sum p_n$ converge, se deduce que para cualquier$n$ es lo suficientemente grande ($n\geq N$) tenemos$p_n\leq\frac{1}{2}$, entonces:$$\prod(1-p_n) \geq \exp\left(-\sum_{n=1}^{N}\frac{p_n}{1-p_n}-2\sum_{n>N}p_n\right)>0.$ $

Answer 3

Supongamos$\sum p_n = C$. Observemos que existe$N: \sum_{k=1}^{N}p_n > C-1$. Reemplace N primeros números con$0$. $\prod(1-p_n) = c\prod_{n > N}(1-p_n)$ Sabemos por la sugerencia$\prod_{n > N}(1-p_n) > 1-\sum_{n > N} p_n > 0$. Entonces $\prod(1-p_n) = c\prod_{n > N}(1-p_n) > 0$.