Análisis Complejo: Mapas Conformales

Question

Problema

Estoy tratando de encontrar una transformación de Möbius para mapear la región

$$\{z:|z-i|<\sqrt2 \text{ and } |z+i|<\sqrt{2} \} en

ps

Cualquier ayuda sería apreciada. Saludos.

Answer 1

El conjunto blanco es el derecho de la parte superior a la del trimestre plano, el conjunto de $z$ positivos partes real e imaginaria.

Deje $S_1=\{z:|z-i|=\sqrt 2\}$$S_2=\{z:|z+i|=\sqrt 2\}$, y deje $D_1,D_2$ sus respectivos interiores.

Cualquier transformación de Möbius que envía a $D_1\cap D_2$ a la parte superior derecha del plano debe enviar cualquiera de las $S_1$ o $S_2$ a la línea real, y el otro a la línea imaginaria. En particular, debe enviar el par $\{-1,1\}$ $\{0,\infty\}$ya que es de los dos puntos sobre la esfera de Riemann, donde lo real y lo imaginario se cruzan los ejes.

Vamos a tratar de $f(z)=a\frac{z+1}{z-1}$ algunos $a$, ya que el $f(1)=\infty$$f(-1)=0$.

Para $f(z)$ a enviar $S_1$ a los números reales, sólo es necesario demostrar que para un valor en $S_1$. Vamos a recoger $w_1=1+2i$. A continuación, queremos $a\frac{2+2i}{2i}$ a ser real, y, desde el $w_1$ no está en el límite de $D_1\cap D_2$, queremos $f(w_1)$ a ser negativo. Así que vamos a intentar resolver:

$$-1 = f(w_1) = a\frac{2+2i}{2i}=a(1-i)$$ or $$a = \frac{-1-i}2$$

Entonces usted necesita mostrar que, para este valor de $a$, $f$ enviar $S_2$ a la línea imaginaria, y, de nuevo, usted sólo tiene que validar $f(w_2)$ es imaginario para algunos $w_2$ $S_2$ no $\{\pm 1\}$, por ejemplo,, $w_2=1-2i$.$f(w_2)$. (Usted podría probar que $S_1$ $S_2$ son ortogonales, ya que su imagen en $f$ tendría que ser ortogonales, por lo que la imagen de $S_2$ sería una línea que pasa a través de $0$ y es ortogonal a la recta real, por lo tanto debe ser la línea imaginaria.)

Por último, usted necesita demostrar que $f(0)$ está en la parte superior derecha del cuarto plano.