implica.

Question

Permita que$f:[a,b]\to\mathbb{R}$ sea diferenciable en$[a,b]$ y permita$c \in(a,b)$. Supongamos que$\lim_{x\to c}f'(x)=L$ some$L \in\mathbb{R}$. Sin usar la regla de L'Hospital, demuestre que$f'(c)=L$.
Sugerencia: utilice el teorema del valor medio y la definición ed de f '(c).

Cualquier pista sería muy apreciada. Gracias.

Answer 1

Dejar $x>c$. Por el teorema del valor medio en$[c,x]$,$$\exists \xi_x\in [c,x]\text{ so that }f'(\xi_x)=\frac{f(x)-f(c)}{x-c}$ $ Ahora como$x\to c^+$,$\xi_x\to c^+$ y así ...

¿Puedes completar la prueba ahora?

EDITAR: con$\epsilon-\delta$: Let$\epsilon>0$. Entonces$$\exists \delta>0\text{ so that }c<y<c+\delta\implies \left|f'(y)-L\right|<\epsilon$ $ Como vimos anteriormente, para$x\in (c,c+\delta)$,$\exists \ y\in (c,x)\subseteq (c,c+\delta)$, de modo que$$f'(y)=\frac{f(x)-f(c)}{x-c}$ $ Pero luego,$$\left|\frac{f(x)-f(c)}{x-c}-L\right|<\epsilon$ $ siempre$c<x<c+\delta$. ¿Está claro ahora?