Sistema más simple que requiere el reemplazo pero no se puede lograr usando el sistema de energía

Question

Estoy buscando un ejemplo simple para el uso del axioma de Reemplazo a la conclusión de que una determinada clase es un conjunto. El más simple de los ejemplos creo que puede ser demostrada usando también el Poder Establecido Axioma, e.g el conjunto de $\{\{x\}\mid x\in A\}$ algunas $A$, e $A/E$ para una relación de equivalencia $E$ sobre un conjunto $A$.

El primer ejemplo que parecen realmente requieren de Reemplazo, mientras que el Poder establecido no es suficiente, por ejemplo,$\{\varnothing,\{\varnothing\},\{\{\varnothing\}\}...\}$, pero parece que para probar esto, debo utilizar un teorema sobre la definición de recursiones.

Un ejemplo similar aparece en esta cuestión , pero parece que la prueba es esencialmente va a través de la prueba del teorema de recursión en el caso específico que aparecen allí.

Hay un ejemplo más simple que no requiere de un teorema?

(No necesito una prueba de que es necesario el Reemplazo mientras que el Poder establecido no es suficiente.)

Answer 1

La clase de contables ordinales constituye un ejemplo.

Considere la siguiente fórmula:

Deje $\varphi(x, y)$ ser la fórmula "BIEN $x$ es un lineal del orden de dominio $\subseteq\omega$, $y$ es un ordinal, y hay una orden de preservación de la bijection entre el$x$$y$, O $x$ es un lineal del orden de dominio $\subseteq\omega$, $y=0$, y no es ordinal con una orden de preservación de la bijection a $x$."

Ahora nos vamos a $A$ ser la clase de los números ordinales $y$ tal que para algunos lineal de pedidos $x$ dominio $\subseteq \omega$ existe un orden, un presreving bijection de$x$$y$.

• El uso de reemplazo, $A$ es un conjunto: aplicar la sustitución de la fórmula $\varphi$ con el "conjunto de inicio" es el conjunto de $S$ lineal de compras con dominio de $\subseteq\omega$.

• Sin reemplazo, no podemos demostrar que la $A$ es un conjunto: en $V_{\omega+\omega}$ tenemos $A=Ord$.

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NOTA: Este es un ejemplo de una receta: dado un intento de construir un objeto $\mathfrak{O}$ por recursión, podemos definir la clase $\mathcal{C}$ de las "aproximaciones parciales", que en realidad existen. Si $\mathfrak{O}$ representa un fracaso de la sustitución, $\mathcal{C}$ no va a ser un conjunto. Por el contrario, el enfoque de arriba nos permite mostrar que el $\mathcal{C}$ es un conjunto, sin hacer la recursividad: básicamente, considerar el mapa enviar a un "escenario" en la recursión para el parcial correspondiente objeto, si es que existe y a $0$ (o algún otro conjunto fijo) de lo contrario. Por lo que esto representa de una manera uniforme para eliminar el uso de la recursividad. Sin embargo, en última instancia, esta es exactamente la prueba del teorema de recursión por lo que en situaciones generales en las que esto no va a ser satisfactorio para usted. Esto refleja el hecho de que la sustitución es de hecho equivalente a la recursividad, por lo que en un sentido preciso de que usted nunca puede encontrar una perfectamente satisfactoria ejemplo.

Answer 2

Yo diría que $V_\omega$ es el más simple. Si usted quiere algo un poco menos en la nariz, $\mathcal P^\omega(\Bbb N)$.

Ambos pueden ser fácilmente descritas a los alumnos sin quejarse todo lo que mucho sobre ordinales.

Answer 3

Desde Noé Schweber la respuesta, el teorema de recursión realmente no puede ser evitado, he de dar una definición explícita en el que espero es el más simple, en el sentido de que no requiere de nociones tales como el bien o el orden ordinal, y no usa el teorema de recursión completa, pero en esencia sigue es una prueba en un caso específico. Por lo que se puede dar después de que se aprende de los axiomas y cuáles son las funciones. Esto también incorpora Asaf Karagila la respuesta.

Dado alguna función $G:A\to A$ $a\in A$ (por ejemplo, $G(x)=\{x\}$ o $G(x)=\mathcal{P}(x)$) defina $\varphi(x,y)$ a ser la fórmula: $$x\in\mathbb{N}\de la tierra\existe f \Big[f\,\mathrm {\,\, la función\,}\tierra Dom\left(f\right)=\left\{ n\in\mathbb{N}\mediados n\leq x\right\} \de la tierra y=f\left(x\right)\de la tierra \\ \de la tierra f\left(0\right)=\de la tierra\forall z\in\mathbb{N}\left(z<x\f\left(z+1\right)=G( f\left(z\right)\ \right)\Big] $$ Entonces uno tiene que probar que para cada $n\in\mathbb{N}$ existe un único tal $f$, por lo que el $F=\{<x,y>\mid \varphi(x,y)\}$ es una bien definida la función de la satisfacción de $F(n)=G^n(a)$, por lo que la aplicación de reemplazo da el conjunto $ \{G^n(a)\mid n\in \mathbb{N}\} $, lo que puede ser, por ejemplo,$\{\varnothing,\{\varnothing\},\{\{\varnothing\}\}...\}$.