¿Tiene todo espacio vectorial real de dimensión finita una base canónica?

Question

Estaba tratando de demostrar el siguiente teorema:

Teorema: Sea $\phi$ sea una forma bilineal simétrica en $V$ , donde $V$ un espacio vectorial de producto interno real con dimensión $n$ . Entonces existe una base ortonormal $B$ de $V$ , tal que la matriz asociada a $\phi$ en esa base es diagonal.

Esta es la forma en que lo "probé":

Dejemos que $C$ sea la base canónica de $V$ , $C'$ la base canónica de $\mathbb{R}^n$ , $A=M_C(\phi)$ la matriz asociada a $\phi$ en esa base y $T$ un operador en $\mathbb{R}^n$ definido como $T(v)=Av$ . Tenemos que $[T]_{C'}=A$ es una matriz real simétrica, por lo que $T$ es autoadjunto y, por tanto, existe alguna base ortonormal $B$ de $\mathbb{R}^n$ para la cual la matriz asociada a $T$ es una matriz diagonal $D$ . Así que $$D=Q^{-1}AQ,$$ donde $Q$ es el cambio de matriz base de $B$ a $C'$ . Desde $C'$ es la base canónica, las columnas de $Q$ son sólo los vectores de $B$ Así que $Q$ es una matriz ortogonal y por lo tanto $D$ no sólo es similar sino también congruente con $A$ .

En este punto me gustaría concluir "ya que $A$ es congruente con $D$ entonces $D$ es la matriz asociada a $\phi$ en una base ortogonal". El problema es que $B$ no es una base de $V$ sino una base de $\mathbb{R}^n$ Entonces, ¿cómo puedo definir una base ortonormal de $V$ en términos de $B$ ? Creo que estoy buscando algún tipo de isomorfismo entre $V$ y $\mathbb{R}^n$ preservando la ortonormalidad (¿una isometría?), ¿hay alguna que se pueda aplicar? ¿También tiene sentido hablar de una base canónica en un espacio de producto interno real arbitrario con dimensión finita? Estoy bastante confundido, tal vez mi "prueba" ni siquiera tiene sentido.

Answer 1

Yo no llamaría a la base estándar de $\mathbb{R}^n$ una base canónica - la llamo base estándar. Para mí, un objeto canónico es algo que está determinado de forma única por una propiedad. No veo esa propiedad para la base estándar de $\mathbb{R}^n$ . Ahora vamos a llegar a una dimensión finita arbitraria (dimensión $n$ ) espacio vectorial $V$ . Como ha dicho correctamente, hay un isomorfismo a $\mathbb{R}^n$ . Ahora el problema es: Este isomorfismo no está determinado unívocamente. De hecho, todo automorfismo de $\mathbb{R}^n$ induce otro isomorfismo entre $V$ y $\mathbb{R}^n$ .

Answer 2

¿Tiene todo espacio vectorial real de dimensión finita una base canónica?

Para cualquier definición razonable de "canónico" (y ciertamente para el definición habitual de la teoría de las categorías), "(enfáticamente) no". Ni siquiera hay forma de elegir un único elemento distinto de cero de manera que sea "equivariante con respecto a los isomorfismos del espacio vectorial".

En cambio, tendrá que empezar con la existencia de algunos de su espacio de producto interno real finito y utilizar esta base para construir una base ortonormal, como por ejemplo aplicando la Algoritmo de Gram-Schmidt .