Hoy me he encontrado con una pregunta...
Integre $\int \dfrac{\sin x-\cos x}{(\sin x+\cos x)\sqrt{(\sin x \cos x + \sin^2x\cos^2x)}}\,dx$
¿Cómo hacerlo? He intentado
1. tomar $\sin x \cos x =t$ pero sin resultado
2. convertir lo de la raíz cuadrada en $\sin x +\cos x$ para poder tomar $\sin x + \cos x = t$ pero entonces algo que tengo es $\int\frac{-2}{t|t+1|\sqrt{t-1}}\,dt$ . Ahora no sé cómo superarlo.
Aviso, $$\int\frac{\sin x-\cos x}{(\sin x+\cos x)\sqrt{\sin x\cos x+\sin^2 x\cos^2x}}\ dx$$ $$=\int\frac{\sin x-\cos x}{(\sin x+\cos x)\sqrt{\frac{(\sin x+\cos x)^4-1}{4}}}\ dx$$ $$=2\int\frac{(\sin x-\cos x)dx}{(\sin x +\cos x)\sqrt{(\sin x+\cos x)^4-1}}$$ deje $\sin x+\cos x=t\implies (\cos x-\sin x)\ dx=dt$ , $$=-2\int\frac{dt}{t\sqrt{t^4-1}}$$ deje $t^4-1=u^2\implies 4t^3\ dt=2u\ du$ , $$=-2\int\frac{udu}{2u(u^2+1)} $$ $$=-\int\frac{du}{1+u^2}$$$$ =-\tan^{-1}(u)+C $$ $$ =-\tan^{-1}\left(\sqrt{t^4-1}\right)+C $$ $$ =-\tan^{-1}\left(2\sqrt{\sin x\cos x+\sin^2x\cos^2 x}\right)+C$$
Ah...el unico fallo es que la respuesta en mi hoja de practicas es tan positivo inverso...pero no hay problema por mi parte en pillar el concepto...gracias....
¿estás seguro de que el numerador de la integral dada es $\sin x-\cos x$ o es $\cos x-\sin x$ ?
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Toma $y = \tan^{-1}(\sqrt{t-1})$ .
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Si su sustitución es correcta, defina $u:=\sqrt{t-1}$ $$\int\frac{-2}{t(t+1)\sqrt{t-1}}\ dt = -4 \int \frac{1}{(u^2+1)(u^2+2)} du$$ y por fracciones parciales se obtiene $$=-4 \int \left(\frac{1}{u^2+1} - \frac{1}{u^2+2} \right) du$$ Ahora son integrales bastante estándar.