Demostración del lema de Artin-Rees

Question

Me cuesta entender un paso clave en una demostración del lema de Artin-Rees, que he puesto en un recuadro rojo a continuación. No veo realmente cómo podemos pasar de una suma directa finita a una infinita. He intentado escribir ambos lados de la igualdad para pasar de una a otra, pero no lo veo...

Seguro que se me escapa algo, pero cualquier ayuda sería muy apreciada, ¡gracias!

Aquí está la prueba dada:

Aquí está la sección anterior sobre cómo hacer un $R$ -Módulo $M$ en un $R[t]$ -Módulo $M[t]$ :

Answer 1

Aquí tienes un pequeño cálculo que te ayudará:

Se nos da:

\begin {align*} & \qquad \left ( \bigoplus_ {n=0}^k N_nt^n \right ) \left (R + \sum_ {j=1}^ \infty I^jt^j \right ) \\ &= \left ( \bigoplus_ {n=0}^k N_nt^n \right ) \left (I^0t^0 + \sum_ {j=1}^ \infty I^jt^j \right ) \\ &= \left ( \bigoplus_ {n=0}^k N_nt^n \right ) \left ( \sum_ {j=0}^ \infty I^jt^j \right ) \end {align*} Expandimos el producto para obtener \begin {align*} \sum_ {n=0}^k \sum_ {j=0}^ \infty N_nI^jt^{n+j} \end {align*}

En la suma que queda, hacemos el cambio de variable $n+ j = i$ para conseguirlo: $$\sum_{i=0}^{\infty} \left(\sum_{n=0}^{\min(i,k)}N_nI^{i-n}\right)t^i$$

Esta suma resultante sobre $i$ también es directa por la definición de $M[t]$ .