¿Cuál es la historia del término "tensor"?

Question

Desde que tropezó por primera vez con la palabra " tensor " hace más de 50 años, en un libro de mecánica analítica, me ha sorprendido lo resbaladizo que es el concepto. Tampoco he visto nunca una definición que me dé una clara intuición en cuanto a qué tipo de cosa es un tensor (aunque he leído muchos artículos - especialmente en Wikipedia - que implica el término). A modo de comparación, un " vector " tiene el significado intuitivo de portador, y un " escalar " parece significar una camilla. En este sentido, pensé que tal vez "tensor" tenía que ver con "tensión"; pero dado que tensión es un término para un tipo de fuerza, que un vector ya representa bien, ¿por qué necesitaríamos otro término más?

El mismo libro de mecánica analítica también me introdujo en la idea de la Hamiltoniano junto con las fórmulas que lo definen. Al investigar en la biblioteca de la universidad local (¡entonces no había Internet!), descubrí el trabajo original de Hamilton sobre quaternion s, una generalización muy interesante de los números complejos. La lectura de ese trabajo me ayudó a entender mejor el libro de mecánica analítica, ya que también utilizaba tres vectores unitarios mutuamente ortogonales: i , j , k como en el caso de los cuaterniones. Sin embargo, Hamilton no utilizó la palabra "tensor". [Edición: había olvidado que utilizó "tensor" para nombrar un análogo al módulo de un número complejo c \= x+y i (un escalar que mide la longitud de un vector, o el "tamaño" de un número hipercomplejo h \= w+x i +y j +z k .)]

Aunque he descubierto que un tensor puede tomar el formulario de una matriz, parece que esto no es esencial. Pero lo que es ?

Estas son las cosas que todavía no lo entiendo:

1. ¿Qué es un tensor?
2. ¿Quién utilizó el término por primera vez y en qué contexto?
3. ¿Ha cambiado el significado del término y ha evolucionado con el tiempo para hacerse más general?
4. ¿Se ha precisado también su definición (como, por ejemplo, la de "función continua")?

Answer 1

Mira la parte inferior de la página 2 y la parte superior de la página 3 del libro de Conrad " Productos Tensoriales "para una discusión sobre el uso temprano del término "tensor" en física y matemáticas.

He aquí una breve reseña histórica de los productos tensoriales. Surgieron por primera vez a finales del siglo XIX, tanto en física como en matemáticas. En 1884, Gibbs [4, Cap. 3] introdujo el producto tensorial de vectores en $\mathbf R^3$ bajo la etiqueta "producto indeterminado" $^*$ y lo aplicó al estudio de la tensión en un cuerpo. Gibbs extendió el producto indeterminante a $n$ dimensiones dos años después [5]. Voigt utilizó los tensores para una descripción de la tensión y la deformación en los cristales en 1898 [14], y el término tensor apareció por primera vez con su significado moderno en su obra. $^\dagger$ Tensor viene del latín tendere que significa "estirar". En matemáticas, Ricci aplicó los tensores a la geometría diferencial durante las décadas de 1880 y 1890. Un artículo de 1901 [12] que Ricci escribió con Levi-Civita (está disponible en la traducción al inglés como [8]) fue crucial en el trabajo de Einstein sobre la relatividad general, y la adopción generalizada del término "tensor" en física y matemáticas proviene del uso de Einstein; Ricci y Levi-Civita se referían a los tensores con el insulso nombre de "sistemas". En todos estos trabajos, los productos tensoriales se construyeron a partir de espacios vectoriales. El primer paso para extender los productos tensoriales a los módulos se debe a Hassler Whitney [16], que definió $A \otimes_{\mathbf Z} B$ para cualquier grupo abeliano $A$ y $B$ en 1938. Unos años más tarde, el volumen de Bourbaki sobre el álgebra contenía una definición de los productos tensoriales de los módulos en la forma que ha tenido esencialmente desde entonces (dentro de la matemática pura).

$^*$ La etiqueta de indeterminado se eligió porque Gibbs consideraba que este producto era, en sus palabras, "la forma más general de producto de dos vectores", ya que no estaba sujeto a ninguna ley, excepto la bilinealidad, que debe ser satisfecha por cualquier operación sobre vectores que merezca el nombre de que debe cumplir cualquier operación sobre vectores que merezca el nombre de producto.

$^\dagger$ Escribir $\mathbf i$ , $\mathbf j$ y $\mathbf k$ para la base estándar de $\mathbf R^3$ Gibbs llamó a cualquier suma $a\mathbf i\otimes\mathbf i + b\mathbf j\otimes\mathbf j + c\mathbf k\otimes\mathbf k$ con un resultado positivo $a$ , $b$ y $c$ a tensor derecho [4, p. 57], pero no sé si esto tuvo alguna influencia en la terminología de Voigt.

Answer 2

La noción concreta de coordenadas es el tensor como matriz multidimensional de números. La dimensión de la matriz se conoce como el rango del tensor. Así, un escalar es un tensor de rango cero, una lista de números, también conocida como vector, es un tensor de rango 1, una red bidimensional, también conocida como matriz, es un tensor de rango 2, y las cosas de mayor rango se llaman simplemente tensores. Al escribir el tensor en términos de componentes indexados, el rango indica el número de índices necesarios.

Una definición más potente pero más abstracta de tensor es la de elemento de un producto tensorial. Dado que la dimensión de un producto tensorial de espacios vectoriales es el producto de las dimensiones de los espacios, estos vectores también pueden organizarse naturalmente como matrices una vez que se eligen las bases, lo que demuestra la equivalencia de las dos nociones.

Answer 3

Mi profesor en la universidad definió un tensor como cualquier cosa que convierte un vector en otro vector, y lo citó como el Teorema de Detección de Tensores. Tal vez quieras intentar buscar en Google esta frase. Siempre he creído que la utilizó por primera vez Levi Civita, pero puede que me equivoque.