demostrando la convergencia de $\sum a^\sqrt{n} $ para $ 0 < a<1 $

Question

Mi libro de texto dice que se puede demostrar en tres pasos :

1) para los casos de gran tamaño $ n $ , $ a^{2^{n/2}} < 3^{-n} $

2) $ \sum 2^{n}a^{2^{n/2}} < \infty $

3) $ \sum_{n=1} a^{\sqrt{n}} < \sum_{n=0} 2^{n}a^{2^{n/2}} < \infty $

el paso 1) es trivial ya que $a^{2^{n/2}}$ disminuye exponencialmente.

paso 2) se demuestra a partir del paso 1. la convergencia de $ \sum (\frac{2}{3})^n $ es una prueba.

Estoy atascado en el paso 3). Creo que me estoy perdiendo algo crítico aquí - desde mi comprensión ingenua, la disminución exponencial de $ a^{2^{n/2}} $ debería pesar más que todo. ¿Cómo puede la convergencia de $ \sum a^{\sqrt{n}} $ para $ (0<a<1) $ ¿se puede demostrar?

Answer 1

La idea es: $$ \sum_{n=2^k}^{2^{k+1}-1} a^{\sqrt{n}} \leq \sum_{n=2^k}^{2^{k+1}-1} a^{\sqrt{2^k}} = 2^ka^{\sqrt{2^k}} $$ Esto se conoce como prueba de condensación de Cauchy.

---

En esta situación, el límite dado por la Prueba Integral es algo similar: $$ \sum_{n=1}^\infty a^{\sqrt{n}} \leq \int_0^\infty a^{\sqrt{x}}\,dx = 2\int_0^\infty a^t t\, dt < \infty. $$

Answer 2

Tenemos $\int a^{\sqrt x}\,dx=\dfrac2{(\log a)^2}\,a^{\sqrt x}(\sqrt x\,\log a-1)\xrightarrow{x\to\infty}0$ desde $\log a<0$ (¡comprobar!). Por lo tanto, la serie $\sum a^{\sqrt n}$ converge por la prueba integral.

Answer 3

Otra forma de verlo es la siguiente:

Considera la suma infinita:

$\sum^{n}_{i=0}a^{p}$

Si p > 1 esto converge para todo a tal que abs(a) < 1 (principio básico de las series geométricas)

Observamos que dada su ecuación particular sqrt(i) > 1 a partir de i = 2. Lo que en otras palabras significa que

$\sum^{n}_{i=2}a^{i^{1/2}}$

Converge para abs(a) < 1.

Ahora bien, si sólo evaluamos la expresión para i = 0 y 1 (que equivale a los valores de 1 y a.

Entonces podemos escribir:

$\sum^{n}_{i=0}a^{i^{1/2}} = 1 + a + \sum^{n}_{i=2}a^{i^{1/2}}$

De los cuales se sabe que los 3 términos convergen si abs(a) < 1 lo que implica que:

$\sum^{n}_{i=0}a^{i^{1/2}}$ converge para abs(a) < 1