Deje $G$ ser finito y no abelian grupo. ¿Cómo puedo probar la siguiente declaración? $$\exists a,g,h\in G \colon\quad h=aga^{-1},\ g\neq h ,\ gh=hg.$$
Gracias de antemano.
Respuestas
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Rakshya
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El uso de la inducción de la $|G|$, podemos suponer que todos los subgrupos de $G$ son Abelian, es decir, $G$ es una de Miller–Moreno. La estructura de estos grupos son bien conocidos (ver ¿Qué podemos decir de un grupo de cuya adecuada subgrupos son abelian?). Son de 2 tipos:
1) $|G|=p^m$. Deje $H<G, |H|=p^{m-1}$. Desde $H$ es invariante y no en el centro, contiene conjugar elementos.
2) $|G|=p^mq^n$. Entonces, por ejemplo, $P$ $|P|=p^m$ es invariante del tipo $(1,1,\ldots, 1)$ $Q$ $|Q|=q^n$ es cíclico, $P$ no está en el centro y la prueba es similar a la anterior.
Jeff Leonard
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258
Aquí es una ligera variación de las otras dos respuestas.
La idea es todavía el uso de la observación de que podemos asumir toda la adecuada subgrupos son abelian.
Nota ahora que es suficiente encontrar una normal y adecuada de los subgrupos, que no es central (ya que es correcta, será abelian, así que sólo tenemos dos distintas conjugado elemento en ella, la que podemos obtener, ya que es normal y no central).
Para mostrar que cualquier mínimo no abelian grupo (mínimo no abelian significa precisamente que todas adecuada subgrupos son abelian y el grupo en sí no es abelian) tiene un subgrupo, analicemos los siguientes:
Cualquier subgrupo de cualquier cociente de un mínimo no abelian grupo abelian (ejercicio fácil).
Un mínimo no abelian grupo no es sencillo (no he podido encontrar una realmente elemental prueba de ello, pero se deduce fácilmente a partir de la observación de que cualquier no-normal subgrupo de Sylow será central en su normalizador y la aplicación de Burnside de transferencia del teorema).
Finalmente, dado que el centro nunca es máxima, podemos encontrar nuestra propia normal no central subgrupo tirando hacia atrás de un adecuado no trivial normal subgrupo del cociente por el centro.
