Frecuencia esperada de la tirada de dados más frecuente

Question

Supongamos que tenemos una feria de $m$colindado mueren, y nos rodar $n$ veces. ¿Cuál es la frecuencia esperada $E(n, m)$ de los que con más frecuencia laminado en la cara?

Si fijamos $n$, se puede calcular el $E(n,m)$ como así. Deje $\Pi(n)$ ser el conjunto de particiones de $n$, donde cada partición es débilmente descendente de la secuencia de números enteros no negativos, como $(5,2,2,1,1,0...)$. Para cada partición $\pi$, podemos calcular la probabilidad de que la distribución de frecuencias es igual a $\pi$, entonces multiplicamos eso por $\pi_1$ para obtener la contribución a $E$. Suma más de $\Pi(n)$ nos da $E$.

He calculado el siguiente (usando Mathematica):

$\begin{align*} E(1,m) &= 1\\ E(2,m) &= (m+1)/m\\ E(3,m) &= (m^2+3m-1)/m^2\\ E(4,m) &= (m^3+6m^2-7m+4)/m^3\\ E(5,m) &= (m^4+10m^3-25m^2+40m-21)/m^4\\ E(6,m) &= (m^5+15m^4-65m^3+195m^2-266m+126)/m^5\\ E(7,m) &= (m^6+21m^5-140m^4+665m^3-1631m^2+1911m-820)/m^6\\ E(8,m) &= (m^7+28m^6-266m^5+1820m^4-6881m^3+14140m^2-14554m+5720)/m^7 \end{align*}$

Answer 1

La probabilidad de que la máxima de la cara tiene una frecuencia $k$, que aparece $t$ tiempos, es $$ \begin{align*} p_{k,t} &= m^{-n} \binom{m}{t} \left[(1+\cdots+x^{k-1})^{m-t}\right]|_{x^{n-kt}} \\ &= m^{-n} \binom{m}{t} \left[ \frac{(1-x^k)^{m-t}}{(1-x)^{m-t}} \right]|_{x^{n-kt}} \\ &= m^{-n} \binom{m}{t} \sum_{s=0}^{m-t} (-1)^s \binom{m-t}{s} \binom{n-kt-(s-1)(m-t)-1}{m-t-1}. \end{align*} $$ Aquí los coeficientes binomiales debe ser entendido como nulo si el "fuera de rango". Dado $p_{k,t}$, la expectativa de que después de es $\sum_{k,t>0} kp_{k,t}$. No estoy seguro de que hay más de una manera breve para escribir esta expresión. En comparación con su fórmula, sin embargo, esta expresión debe ser más eficiente para calcular. Sin embargo, esta expresión no significa que sea inmediatamente claro por qué el resultado debería ser un polinomio en $m$, determinado $n$.