Grado de ramificación de la extensión de campo del campo 5-ádico obtenida por adición de una raíz tercera primitiva de la unidad

Question

Dejemos que $K = \mathbb{Q}_5$ y $K' = \mathbb{Q}_5(\xi_3)$ donde $\xi_3$ es un tercera raíz primitiva de la unidad es decir $\xi_3, \xi_3^2 \neq 1$ pero $\xi_3^3=1$ . El polinomio mínimo de $\xi_3$ en $K$ es $x^2+x+1$ por lo que el grado de $K'/K$ es 2. Esto significa que el índice de ramificación de $K'/K$ es $1$ o $2$ es decir, no está ramificado o está totalmente ramificado.

Pregunta : ¿Qué caso es cierto?

Ideas y reflexiones :

• Mi opinión es que $K'/K$ va a ser desramificado. Creo que esto es cierto porque el polinomio mínimo de $\xi_3$ , a saber $x^2+x+1$ no es un polinomio de Eisenstein sobre $\mathbb{Z}_5$ . Pero tal vez podría haber una extraña combinación lineal $a + b \xi_3$ con $a,b \in \mathbb{Q}_5$ cuyo polinomio mínimo es efectivamente un polinomio de Eisenstein. No sé si eso es posible.
• Si $K'/K$ estaba totalmente ramificado, entonces debe haber una $x=a + b \xi_3$ con $a,b \in \mathbb{Q}_5$ tal que la valoración es $1/2$ es decir $v_K'(x) = \frac{1}{2}$ . Tenemos la fórmula general $$v_K'(x) = \frac{1}{2}v_5(N_{K'/K}(x)) = \frac{1}{2}v_5(a^2-ab+b^2)$$ , por lo que tenemos que comprobar si $a^2-ab +b^2 = 0$ tiene una solución sobre $\mathbb{F}_5$ . ¿Hay una buena manera de comprobar rápidamente (aparte de probar todas las posibilidades) si tiene solución?
• Sé que existe una única extensión no ramificada de $K$ de grado 2 que se puede obtener adhiriendo una primitiva $(5^2-1)$ -raíz de la unidad, digamos $\xi_{24}$ . Así que podríamos comprobar si $\xi_3 \in \mathbb{Q}_5(\xi_{24})$ . Pero esto también parece ser realmente tedioso.

¿Podría explicarme cuál es la mejor manera de enfocar este problema? Gracias.

Answer 1

Creo que la clave de la respuesta a esta pregunta es la fundamental fórmula $n=ef$ , donde $n$ es el grado $[K':K]$ y $e$ , $f$ son el índice de ramificación y el grado de extensión del campo de residuos, respectivamente.

Para obtener todas las raíces cúbicas de la unidad en una extensión del campo de residuos $\Bbb F_5$ , tienes que ir a un campo $\Bbb F_{5^m}$ cuyo grupo multiplicativo es de orden $5^m-1$ y cíclico, como estoy seguro de que sabes. Una vez $3|(5^m-1)$ , tienes esas raíces cúbicas de unidad en tu campo. Y por supuesto $m=2$ sirve muy bien, ya que $3|24$ .

Así que uniendo las raíces cúbicas de la unidad a $\Bbb Q_5$ se necesita una extensión cuadrática del campo de residuos. Por lo tanto aquí, $f=2$ , obligando a $e=1$ . Fin de la historia.