Función idéntica consulta

Question

Si $f(x)=\frac{x}{\ln x}$ & $g(x)=\frac{\ln x}{x}$. A continuación, identifique la afirmación correcta.

A) $\frac{1}{g(x)}$ e $f(x)$ son idénticas funciones

B) $\frac{1}{f(x)}$ e $g(x)$ son idénticas funciones

C) $f(x)\cdot g(x)=1 \forall x>0$

D) $\frac{1}{f(x)\cdot g(x)}=1 \forall x>0$

No tengo la solución, pero como por la respuesta clave que Sólo Una es la correcta declaración , B,C,D son incorrectas declaración .

Mi Enfoque para la B vamos a $t(x)=\frac{1}{f(x)}$ , ahora la pregunta es si $t(x)$ & $g(x)$ son de idéntica función, mi pensamiento sería idéntica función, porque para la misma función que necesita para comprobar el dominio y el rango en $t(x)$ y no en su recíproco.Pero por el contrario en la Clave de respuestas se menciona como INCORRECTA.

Con respecto a C y D no sé por qué es incorrecto.

Answer 1

El punto importante es que $\ln 1=0$, por lo que no se puede dividir por él. En Un obtener un $\ln x$ en ambos denominadores, por lo que ambos lados de la ecuación está definida en $x=1$. En B, $g(x)$ está muy bien definido para todos los $x \gt 0$, pero $f(1)$ no es tan $\frac 1{f(1)}$ no es cualquiera. C y D no para $x=1$ por la misma razón.

Answer 2

Usted está en la derecha de la pista: la clave de esta pregunta es identificar los dominios de todas las funciones implicadas. Aquí están algunos de ellos.

• Considere la función $g(x)=\dfrac{\ln x}{x}$. El dominio de esta función es $x>0$, es decir, $x\in(0,+\infty)$. (Espero que entiendan por qué).

• Considere la función $G(x)=\dfrac{1}{g(x)}$. Esta función, ya que involucra a $g(x)$, sólo se define cuando se $g(x)$ se define; y por otra parte, no podemos tener $g(x)=0$. Así que nos tomamos el dominio de $g(x)$, es decir, $x\in(0,+\infty)$, y excluir a todos los puntos donde la $g(x)=\dfrac{\ln x}{x}=0$. Hay sólo un punto, $x=1$. Por lo tanto, el dominio de $G(x)=\dfrac{1}{g(x)}$ es $x\in(0,1)\cup(1,+\infty)$.

Del mismo modo, usted puede encontrar los dominios de $f(x)$, $\dfrac{1}{f(x)}$, etc. Y usted debería ver que los dominios de las dos funciones en (A) son los mismos, pero en (B) no lo son.

Como para (C) y (D), de nuevo se trata de los dominios. Por ejemplo, en (C), la expresión de $f(x)\cdot g(x)$ no está definido en $x=1$ porque $f(x)$ no está definido en $x=1$. Así que la afirmación no es verdadera en $x=1$ (el lado izquierdo es indefinido, y, como tal, no es igual a $1$), y por lo tanto no podemos decir que se tiene para todos los $x>0$.