Espacio de la lente y su generalización, grupos de homotopía / homología

Question

Las tres dimensiones de la lente de los espacios de $L(p;q)$ son cocientes de $S^3$ por $\mathbb{Z}/p$-acciones. Más precisamente, vamos a$p$ e $q$ ser coprime enteros y considerar la posibilidad de $S^3$ , ya que la unidad de la esfera en $\mathbb C^2$. A continuación, el $\mathbb{Z}/p$-acción en $S^3$ generado por el homeomorphism :$$(z_1,z_2) \mapsto (e^{2\pi i/p} \cdot z_1, e^{2\pi i q/p}\cdot z_2)$$ es gratis. El cociente resultante espacio se llama el "'de la lente espacio"' $L(p;q)$.

Esto se puede generalizar a dimensiones superiores de la siguiente manera: Vamos a $p,q_1,\ldots,q_n$ ser números enteros tales que el q_i son coprime a $p$ y considerar la posibilidad de $S^{2n-1}$ , ya que la unidad de la esfera en $\mathbb C^n$. El objetivo del espacio $$L(p;q_1,\ldots q_n)$$ is the quotient of $S^{2n-1}$ by the free $\mathbb Z/p$-acción generada por : $$(z_1,\ldots,z_n) \mapsto (e^{2\pi iq_1/p} \cdot z_1,\ldots, e^{2\pi i q_n/p}\cdot z_n).$$

mis preguntas:

1. En Wikipedia dice: En las tres dimensiones a las que nos tienen $L(p;q)=L(p;1,q).$ ¿por Qué? No es que uno es de 3 reales y el otro en 5 dimensiones reales?

2. Cómo mostrar: El grupo fundamental de toda la lente de espacios de $L(p;q_1,\ldots, q_n)$ es $\mathbb Z/p\mathbb Z$ independiente de la $q_i$?

3. $L ( 5 ; 1 )$ e $L ( 5 ; 2 )$ no fueron homeomórficos incluso a pesar de que han isomorfo fundamentales de los grupos y la misma homología, a pesar de que no tienen el mismo homotopy tipo. ¿Cuáles son los homotopy grupos de $L ( 5 ; 1 )$ e $L ( 5 ; 2 )$, respectivamente? Y su homología de grupos?

Answer 1

1) La última notación corresponde a $n = 2$; la equivalencia es sólo una cuestión de corrección de la definición.

2) la lente de espacio $L$ es sólo un cociente de $S^{2n-1}$ por una buena acción de $\mathbb{Z}_m$. Desde $S^{2n-1}$ es simplemente conectado, $\pi_1 L= \mathbb{Z}_m$.

3) de manera Similar, $\pi_i(L) = \pi_i(S^{2n-1})$ para $i > 1$. El último grupo es muy complicado por encima de la dimensión de $2n-1$, pero al menos la parte inferior $\pi_i(L)$ son claras. Como por homología, la manera más fácil es trabajar con celulares de homología; el cálculo se realiza en Hatcher. (Hay otros enfoques que requieren más de la maquinaria, pero menos de cálculo. Normalmente estoy totalmente a favor de eso, pero la lente espacios son uno de los canónica espacios para que homología puede ser trabajado a mano, y apenas sobre cualquier topología algebraica libro va a ir a través de todos los detalles.) El remate es que en la interesante gama de $p = 1, \dots, 2n-2$el (integral) de homología $H_p(L)$ es $\mathbb{Z}_m$ por extraño $p$ e $0$ incluso $p$.