Estoy tratando de averiguar el grupo fundamental (en realidad simplemente se conecta o no suficiente) de la siguiente cociente del espacio de $SO(3)$:
Deje $X = SO(3)/E$ donde $E$ es la relación de equivalencia definida de la siguiente manera:
$E \equiv M \sim {S_{A}}^{i} * M * {S_{B}}^{j}$ donde ${S_{A}}^{i} \in $ Cristalográfica grupo de puntos de $A$ ${S_{B}}^{j} \in $ Cristalográfica grupo de puntos de $B$, $M \in SO(3)$.
$*$ representa la operación de multiplicación (la multiplicación de la matriz si las rotaciones son representados como $3 \times 3$ especial ortogonal de matrices)
Cristalográfica grupo de puntos se define aquí: http://en.wikipedia.org/wiki/Crystallographic_point_group
"En la cristalografía, una cristalográfica grupo de puntos es un conjunto de operaciones de simetría, como rotaciones o reflexiones, que dejan el cristal invariante (de ahí una de simetría)."
Sólo considerar el punto grupos de simetrías de rotación. Existen 11 grupos puntuales cristalográficos de cristales tridimensionales. Vamos a empezar con sólo considerando cíclico de grupos de puntos. Son los siguientes:
(a) $C_1 = \{I \}$ donde I es la identidad de rotación.
Si $Z_{\omega}$ es una rotación de ángulo de $\omega$ sobre el $Z-$eje.
(b) $C_2 = \{I, Z_{\pi} \}$
(c) $C_3 = \{I, Z_{\frac{2\pi}{3}}, Z_{\frac{4\pi}{3}} \}$
(d) $C_4 = \{I, Z_{\frac{\pi}{2}}, Z_{\pi}, Z_{\frac{3\pi}{2}} \}$
(e) $C_6 = \{I, Z_{\frac{\pi}{3}}, Z_{\frac{2\pi}{3}}, Z_{\pi}, Z_{\frac{4\pi}{3}}, Z_{\frac{5\pi}{3}} \}$
Por ejemplo, si Cristalográfica grupo de puntos de Una es $C_2$ y B es $C_3$, el de las relaciones de equivalencia son:
$ M \sim M * Z_{\frac{2\pi}{3}} \sim M * Z_{\frac{4\pi}{3}} \sim Z_{\pi}* M \sim Z_{\pi} * M * Z_{\frac{2\pi}{3}} \sim Z_{\pi} * M * Z_{\frac{4\pi}{3}} $
Existe literatura para los casos cuando uno de los grupos de puntos de es $C_1 = \{ I \}$. En este caso se trata de un grupo de acción en $SO(3)$ y el espacio $X = SO(3) / G$ donde $G$ es uno de los 11 grupos puntuales cristalográficos. Estos espacios caída en el marco del llamado esférica de 3 colectores ( http://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_3-manifold ). Al $G$ es uno de los cíclico de los grupos anteriormente, $X$ es un objetivo de un espacio. $L(2n,1) \cong SO(3)/ C_{n}$. Yo no soy capaz de averiguar la forma de pensar de estos espacios cuando hay dos grupos de puntos involucrados.
Progreso hasta la fecha: Incluso cuando hay dos grupos de puntos de actuar en $SO(3)$, que si nos referimos a como $ G_{1} \backslash SO(3)/ G_{2}$ donde $G_{1}$ es cristalográfica grupo de puntos de $A$ $G_2$ se refiere al sistema de $B$, existe un subgrupo finito de $\Gamma$ $SO(4)$ tal que $ G_{1} \backslash SO(3)/ G_{2} \cong S^{3}/ \Gamma$. En el caso de $G_{1} = C_{1}$, resulta que $\Gamma$ actúa correctamente de forma discontinua y por lo tanto el grupo fundamental de que el espacio es $\Gamma$ sí (de la literatura). Pero no estoy seguro de cómo comprobar si $\Gamma$ actos "correctamente de forma discontinua" o no. Y no estoy seguro de cómo comprobar si el espacio es simplemente conectado o no si $\Gamma$ no actuar correctamente de forma discontinua.
Cualquier ayuda es apreciada.
Gracias.
A la respuesta de Aarón pregunta: ¿sabe usted cómo obtener este grupo $\Gamma$ explícitamente?
Yo uso el de cuaterniones representación de las rotaciones. Deje $M = (q_0, q_1, q_2, q_3)$. Yo también uso el siguiente hecho: Cada 4D de la rotación $R$ es en dos maneras en que el producto de la izquierda y a la derecha isoclinic rotaciones $R_L$ y $R_R$. $R_L$ y $R_R$ están juntos determinado hasta la central de la inversión, es decir, cuando ambos $R_L$ $R_R$ se multiplican por la central de la inversión de su producto es $R$ nuevo. (de la wiki: http://en.wikipedia.org/wiki/SO(4) ). Así que para cualquier operación ${S_{A}}^{i} * M * {S_{B}}^{j}$, puedo encontrar $\Gamma_{ij}$ tal que ${S_{A}}^{i} * M * {S_{B}}^{j} = \Gamma_{ij}*[q_0 \ q_1 \ q_2 \ q_3]'$.
La colección de todos los $\Gamma_{ij}$ (e $\Gamma_{ij} * -I_4$ donde $I_4$ $4 \times 4$ matriz identidad) forma un subgrupo finito $\Gamma$$SO(4)$. He utilizado la definición proporcionada por Aaron abajo para que la acción libre y encontró que, al menos para los casos donde cristalográfica de grupos de puntos de $A$ $B$ son los mismos (por ejemplo,$C_2 \backslash SO(3) / C_2$), la acción de subgrupo finito $\Gamma_{C_2,C_2}$ no es propiamente discontinua. Pesar de que he intentado generalizar el problema estoy más interesado en los casos cuando la cristalográfica grupos de puntos de a y B son el mismo. Así que, ¿cómo puedo decir si este espacio $C_2 \backslash SO(3) / C_2$ es simplemente conectado o no, sobre todo ahora que sé que la acción de la $\Gamma$ no es propiamente discontinua ??
Alguna idea ?
