Número de arreglos de parejas

Question

Aquí está el problema:

Cinco parejas se sientan al azar en una fila durante una película. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos cuatro parejas se sientan uno al lado del otro.

Mi denominador es $10!$

El número de formas para todos los cinco parejas para sentarse uno al lado del otro es $5!\cdot2^5$.

El número de maneras para que exactamente cuatro parejas para sentarse uno al lado del otro es $(6!-5!\cdot2)\cdot2^4\cdot5$. El $6!-5!\cdot2$ es el número de maneras para dos personas y cuatro parejas a organizar a sí mismos menos el número de maneras en que los dos se sientan uno junto al otro. Entonces me multiplicado por $2^4$ a reorganizar las personas en las cuatro parejas. Entonces me multiplicado por cinco a cuenta de que de las cinco parejas se separan.

Alguien puede comprobar, mi lógica? Mi clase me quiere comprobar con los expertos, porque no estoy seguro acerca de mi respuesta.

Answer 1

Su solución es correcta.

Aquí es otro enfoque para el caso en que exactamente cuatro parejas se sientan uno al lado del otro.

Elegimos una de las cinco parejas se separan. Si inicialmente la vista de cada una de las otras cuatro parejas como un único objeto, que pueden ser dispuestos en una fila en $4!$ maneras. De esta forma se crea con cinco espacios, tres sucesivos entre las parejas y dos en los extremos de la fila. $$\square c \square c \square c \square c \square$$ Para separar los miembros de la quinta pareja, podemos elegir dos de estos cinco espacios para la pareja, luego colocarlas dentro de estos espacios. Los espacios pueden ser seleccionados en $\binom{5}{2}$ maneras. Los miembros de la pareja se pueden organizar dentro de estos espacios en $2!$ maneras. Los miembros de las parejas que se sientan juntos, cada uno puede ser dispuestos en $2!$ maneras. Por lo tanto, el número de asientos en el que exactamente cuatro parejas se sientan juntos es $$5 \cdot 4!\binom{5}{2}2!^5 = 5!\binom{5}{2}2!^5 = (6! - 5!2!)\cdot 2^4 \cdot 5$$ como se puede comprobar.

Por lo tanto, la probabilidad deseada es $$\frac{5!\binom{5}{2}2!^5 + 5! \cdot 2^5}{10!}$$