¿El espacio de Baire como un grupo de automorfismo?

Question

Wikipedia afirma que el espacio de Baire "es [la] automorphism grupo de [un] countably infinito saturado modelo de $\mathfrak{M}$ de algunos teoría completa $T$", sin embargo no veo ni una evidente estructura de grupo en la $\mathcal{N}$ ni un evidente la topología en $\operatorname{Aut}(\mathfrak M)$ para un genérico $\mathfrak M$.

Cómo es esta afirmación debe interpretarse y ¿qué se puede decir acerca de la $T$?

Answer 1

Para cualquier estructura $\mathfrak{M}$, el automorphism grupo $\mathrm{Aut}(\mathfrak{M})$ tiene una estructura estándar como un grupo topológico, donde (como en Asaf del comentario) el open básica barrios de la identidad se pointwise estabilizadores de finito de conjuntos, es decir, conjuntos de la forma $U_A = \{\sigma\in \mathrm{Aut}(\mathfrak{M})\mid \sigma(a) = a \text{ for all }a\in A\}$, cuando se $A\subseteq \mathfrak{M}$ es finito. Cuando $\mathfrak{M}$ es countably infinito, $\text{Aut}(\mathfrak{M})$ es un grupo polaco (de hecho, es isomorfo a un subgrupo cerrado de el grupo polaco $S_\infty$, el automorphism grupo de $\mathbb{N}$ como un puro juego).

Estoy de acuerdo en que la manera en que esta afirmación está escrito en Wikipedia es confuso, pero creo que la intención es la siguiente:

Si $T$ es cualquier teoría completa y $\mathfrak{M}$ es cualquiercontables saturado modelo de $T$ (tenga en cuenta que algunas teorías no tienen contables saturado de modelos!), a continuación, el subyacente espacio de $\mathrm{Aut}(\mathfrak{M})$ es homeomórficos para el espacio de Baire.

Por supuesto, las diferentes estructuras de $\mathfrak{M}$ tienen generalmente no isomorfos automorphism de los grupos, que corresponden a las diferentes estructuras de los grupos en el espacio de Baire.

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He aquí una prueba de la reclamación. Vamos a utilizar la caracterización del espacio de Baire como la única vacía polaco cero-dimensional espacio para que todos los subconjuntos compactos han vacío interior (Teorema 7.7 en Kechris).

• Vacío: $\mathrm{Aut}(\mathfrak{M})$ contiene la identidad.

• Polaco: suponemos $\mathfrak{M}$ tiene el dominio $\omega$, por lo que cualquier automorphism es una función de $\omega\to \omega$. Esto identifica a $\mathrm{Aut}(\mathfrak{M})$ con un subespacio del espacio de Baire. El conjunto de todos los bijections $\omega\to \omega$ es $G_\delta$ subespacio del espacio de Baire (este es el grupo polaco $S_\infty$), y $\mathrm{Aut}(\mathfrak{M})$ es un subespacio cerrado de $S_\infty$ (ya que si un bijection $\sigma\colon \omega\to\omega$ deja de ser un automorphism, entonces ya hay algunos finito tupla $a$ de $\omega$ de modo tal que ninguna función de $\tau$ con $\tau(a) = \sigma(a)$ es un automorphism), por lo que es polaco.

• $\mathrm{Aut}(\mathfrak{M})$ es cero-dimensional: $\mathrm{Aut}(\mathfrak{M})$ hereda esta propiedad como un subespacio del espacio de Baire.

• Todos los subconjuntos compactos han vacío interior: Supongamos por contradicción que $C$ es un conjunto compacto con interior no vacío. A continuación, $C$ contiene una traducción de un básico clopen barrio de la identidad, que (ser un subconjunto cerrado de un conjunto compacto) es compacto. Por lo que es suficiente para mostrar que no básicos clopen barrio de la identidad es compacto. Deje $U_A$ ser un barrio (por lo $A$ es un subconjunto finito de $\mathfrak{M}$). Desde $\mathfrak{M}$ es infinito, hay una constante de tipo $p(x)\in S(A)$ que no es algebraico. Desde $\mathfrak{M}$ es saturada, el conjunto $p(\mathfrak{M})$ de las realizaciones de $p(x)$ es infinito. Recoger algunas $b\in p(\mathfrak{M})$. Para cualquier $b'\in p(\mathfrak{M})$, vamos a $V_{b'}$ ser el conjunto de todos los automorfismos de a$\mathfrak{M}$ que arreglar $A$ y se mueven $b$ a $b'$. Tenga en cuenta que $V_{b'}$ es no vacío, ya que $\text{tp}(b/A) = \text{tp}(b'/A)$ e $\mathfrak{M}$ es saturada, por lo tanto homogénea. Ahora $\{V_{b'}\mid b'\in p(\mathfrak{M})\}$ es un cover de $U_A$ por infinidad de vacío discontinuo abrir sets, lo que muestra que $U_A$ no es compacto.