¿Cómo puede ser la velocidad un tensor?

Question

Acabo de empezar a estudiar la relatividad general y tengo una pregunta.

Sé que si un tensor es cero en un sistema de coordenadas, será cero en todos los sistemas de coordenadas.

Entonces, ¿cómo puede el $\mu$ componente de la velocidad $dx^\mu/d\tau$ sea un tensor? Debe haber algo que he entendido mal.

Answer 1

La tres-velocidad no es un tensor - es el cuatro velocidades es decir: se trata de un cuatro-vector cuyas componentes espaciales son las tres velocidades de la partícula (con tiempos medidos en el tiempo propio de la partícula), pero que además tiene una componente zerótica (temporal) $$ \frac{\mathrm d x^0}{\mathrm d\tau} = \frac{\mathrm d t}{\mathrm d\tau}, $$ que básicamente mide la tasa de dilatación del tiempo entre el marco de referencia elegido y el marco de reposo de la partícula. Ninguna transformación de Lorentz puede transformar un cuatro-vector con una componente temporal no nula en uno con una componente temporal desvanecida (y, además, ninguna orthochronous La transformación de Lorentz puede cambiar la signo de la componente temporal de un cuatro-vector, por lo que generalmente $\frac{\mathrm d x^0}{\mathrm d\tau}>0$ ).

Esto significa que la cuádruple velocidad de cualquier partícula siempre será distinta de cero: siempre se puede establecer el espacial a cero transformando al fotograma de reposo de la partícula, pero si se hace eso, la componente temporal será $$ \frac{\mathrm d x^0}{\mathrm d\tau} = \frac{\mathrm d t}{\mathrm d\tau} = \frac{\mathrm d \tau }{\mathrm d\tau} = 1, $$ y el cuatro vector no desaparecerá.

Answer 2

la velocidad no debe ser un tensor

¿Por qué no? 4-velocidad es un tensor: a $1 \choose 0$ tensor. Es el vector tangente a la línea del mundo de una partícula material, parametrizado por el tiempo propio. Sus componentes obedecen a una identidad: $$g_{\mu\nu} u^\mu u^\nu = 1$$ ( $g_{\mu\nu}$ el tensor métrico).

(Perdón: aquí hay dos convenciones de signos. He utilizado la que me gusta más, pero no estoy seguro de que sea a la que estás acostumbrado).

También hay que tener en cuenta que en la RG se tiene una amplia libertad en la elección de las coordenadas (sujeta a algunas limitaciones en las que no me detendré). En general, no hay que esperar que las coordenadas se comporten como componentes de un 4-vector. Aunque parezca extraño, no se permite (en general) asignar a una de las coordenadas el carácter de tiempo y a las otras tres el de coordenadas espaciales.

En otras palabras, una línea de coordenadas (por ejemplo $x^1=\rm const.$ , $x^2=\rm const.$ , $x^3=\rm const.$ ) no está obligado a tener un vector tangente semejante al tiempo y los otros tres semejantes al espacio. Todo lo que se requiere es que los cuatro vectores sean independiente .

Las cosas son más fáciles con coordenadas ortogonales : entonces el tensor métrico tiene $\ne0$ sólo las componentes diagonales, y en este caso es cierto que una de las líneas de coordenadas es temporal y las tres restantes espaciales. En muchos casos importantes esta elección de coordenadas es posible, pero no siempre. Un contraejemplo es el agujero negro de Kerr (giratorio y sin carga).

Answer 3

En su pregunta, usted se pregunta "¿cómo puede el $\mu$ -a componente de $\frac{d x^{\mu}}{d \tau}$ ser un tensor?"

En pocas palabras, no es un tensor. Lo que realmente es el tensor es la cuatro-velocidad $v$ . Los números $\frac{d v^{\mu}}{d \tau}$ son los componentes de este tensor en algún sistema de coordenadas particular $x^{\mu}$ . Puede ser cartesiano, esférico, etc.

Tienes razón en que si tienes una ecuación que hace que las componentes de un tensor sean iguales a cero, es decir $$ A^{\mu\nu} = 0, \text{ for a rank (2,0) tensor, or } B^\mu = 0 \text{ for a rank (1,0) tensor,} $$

entonces estos componentes son cero en cada sistema de coordenadas. Sin embargo, para la cuádruple velocidad no existe tal ecuación verdadera. No se puede escribir $dx^{\mu}/d\tau = 0$ porque incluso si el objeto está en reposo (es decir, tiene una velocidad de 3 grados nula) $\vec{v}$ ), las cuatro velocidades serán $$ v^\mu = \begin{cases}c & \mu = 0 \\ 0 & \mu = 1 \\ 0 & \mu = 2 \\ 0 & \mu = 3 \end{cases} $$

(Esta no es la notación típica, normalmente la gente dice sería $v^\mu = (c,0,0,0)$ pero para mayor claridad lo escribo como una declaración para cada valor de $\mu$ ). Esto se debe a que la velocidad de cuatro generalmente se ve así en coordenadas cartesianas: $$ v^\mu = \begin{cases} \gamma c & \mu = 0 \\ \gamma v_x & \mu = 1 \\ \gamma v_y & \mu = 2 \\ \gamma v_z & \mu = 3 \end{cases}, $$

con $\gamma = \left(\sqrt{1-|\vec{v}|^2/c^2}\right)^{-1}$ el factor de Lorentz, y $v_x, v_y, v_z$ las componentes habituales de la 3ª velocidad en coordenadas cartesianas.

Por lo tanto, la cuádruple velocidad nunca puede ser totalmente nula.