Grupos de homología de colector no orientable

Question

Deje $M$ ser un equipo compacto, conectada $n$-colector. Considere la posibilidad de la homología de grupos de $H_n(M)$ con coeficientes en $\mathbb{Z}$.

Es bien sabido que si $M$ no $\mathbb{Z}$-orientable, entonces tenemos $H_n(M) =0$ e $H_{n-1}(M) = \mathbb{Z}/2 \oplus \mathbb{Z}^i$ para algunos $i \ge 0$.

Las pruebas son claras para mí (observación: los principales instrumentos utilizados en la prueba Universal de los Coeficientes y Teorema de la existencia de un orientable de cubierta doble de $M$), pero tengo bastante curiosidad de saber si existe una forma geométrica/intuitiva explicación de la torsión sumando $ \mathbb{Z}/2$ de $H_{n-1}(M)$.

Puede este fenómeno se visualiza en el caso de un no orientable $3$-colector o es puramente algebraica resultado?

Answer 1

Aquí es una versión extendida de mi, ahora eliminado, comentario.

Deje $M$ estar conectado nonorientable un compacto trianguladas colector (cada topológico 3-colector admite una triangulación). Un argumento similar obras de un colector equipado con un CW complejo de la estructura, pero es geométrica menos en este caso. Voy a trabajar con homología simplicial.

Deje $c\in C_n(M; {\mathbb Z})$ denotar la cadena igual a la suma de todos los principales dimensiones simplices. El límite de esta cadena es un ciclo de $b=\partial c$ , incluso con los coeficientes. Por lo tanto, $a=\frac{1}{2}b$ es todavía un ciclo con coeficientes enteros. Desde $M$ es unorientable, $a$ define un elemento no trivial de $H_{n-1}(M; {\mathbb Z})$. Para probar esto, a encontrar un 1-ciclo de $e\in Z_1(M; {\mathbb Z}/2)$ (en el 1-esqueleto de la doble triangulación), que tiene un valor distinto de cero algebraicas intersección número de con $a$: Tome $e$ que invierte la orientación. A partir de este, se puede ver que $[a]\ne 0$ en $H_{n-1}(M; {\mathbb Z})$ así. Por otro lado, claramente, $2[a]=[b]=0$. Por lo tanto, $[a]$ genera ${\mathbb Z}_2$ en $H_{n-1}(M; {\mathbb Z})$.

No sé cómo ver geométricamente que $[a]$ genera un sumando directo de $H_{n-1}(M; {\mathbb Z})$.