Pregunta de probabilidad de gato / ratón

Question

Existen 7 puertas numeradas del 1 al 7 (de izquierda a derecha). Un ratón es colocado inicialmente en el centro de la puerta 4. El ratón puede moverse 1 puerta en un momento, ya sea adyacente de la puerta y lo hace, pero es dos veces más probable que se mueva a un número más bajo de la puerta de un mayor número de la puerta cada vez que se mueve de 1 puerta. Hay gatos que esperan en las puertas 1 y 7 que va a comer el ratón inmediatamente después de que se mueve el ratón a cualquiera de esos 2 puertas.

Así, por ejemplo, el ratón comienza en la puerta 4. Él podría entonces pasar a la puerta 3, luego a la puerta 2, luego de regreso a 3, luego de vuelta a 2, luego a la puerta 1, donde se come. Eso cuenta como 5 movimientos total. Saltarse las puertas no está permitido.

Así que hay 2 preguntas que tengo con respecto a esto:

1) Lo que se espera que el número promedio de movimientos antes de que el ratón se come? (no cuente el arranque inicial en la puerta 4 como moverse, pero contar el final de mover a las puertas de 1 o 7 y cualquier "intermedio" se mueve entre los 2 estados).

2) ¿Cuál es la probabilidad de que el ratón va a sobrevivir por 100 o más movimientos?

Answer 1

Voy a volver a numerar las puertas de $0$ a $6$ a simplificar los cálculos.

Para la primera pregunta, podemos establecer una recurrencia para el número esperado $a_n$ de mueve el ratón hará a partir de la puerta $n$:

$$ a_n=1+(1-p)a_{n-1}+pa_{n+1}\;, $$

con $p=\frac13$. Una solución particular de la ecuación no homogénea es $a_n=3n$, y la homogeneidad de las ecuaciones puede ser resuelto mediante el ansatz $a_n=\lambda^n$, que conduce a la ecuación charateristic

$$ p\lambda^2-\lambda+1-p=0, $$

con las soluciones de $\lambda=1$ e $\lambda=\frac1p-1=2$. En conjunto,

$$ a_n=c_1+c_22^n+3n\;. $$

Los valores límite se $a_0=a_6=0$, lo que produce

\begin{eqnarray*} c_1+c_2&=&0\;,\\ c_1+64c_2+18&=&0\;, \end{eqnarray*}

con la solución de $c_1=-c_2=\frac27$. Por lo tanto la esperanza de vida en el medio es

$$ a_3=\frac27-\frac27\cdot2^3+3\cdot3=7\;. $$

Para la segunda pregunta, se puede agrupar a los $100$ pasos en $50$ pares, reduciendo el proceso a puertas $1$, $3$ e $5$. La matriz de transición para cada par de pasos es

$$ \frac19\pmatrix{2&4&0\\1&4&4\\0&1&2}\;, $$

que convenientemente se pasa a tener un buen eigensystem. El estado inicial se descompone como

$$ \pmatrix{0\\1\\0}=\frac16\left(\pmatrix{4\\4\\1}-\pmatrix{4\\-2\\1}\right)\;, $$

donde el primer vector es un vector propio con autovalor $\frac23$ y el segundo vector es un vector propio con autovalor $0$. Así, después de $50$ pares de pasos a la distribución en las puertas de $1$, $3$ e $5$ es

$$ \frac16\left(\frac23\right)^{50}\pmatrix{4\\4\\1}\;, $$

y la suma de estas probabilidades es

$$ \left(\frac23\right)^{49}\approx2.4\cdot10^{-9}\;, $$

así que su conjetura tenía el derecho de orden de magnitud.

También podemos usar esta eigenanalysis para derivar la esperanza de vida de otra manera. Después de que el primer par de pasos, la distribución es

$$ \frac19\pmatrix{4\\4\\1}\;. $$

A partir de entonces, el ratón se come con una probabilidad de $\frac13$ en cada par de pasos, por lo que el número esperado de pares después de la primera de ellas es $3$. Ya que la muerte se produce en el primer paso de un par, que se traduce en la $7$ pasos.

Answer 2

La primera matriz es la matriz de transición con siete estados. Los estados 1 y 7 son de absorción de los estados. La sombra baige es la matriz Q. La siguiente matriz debajo de (I-Q) y la de abajo es su inversa, dándole la matriz fundamental. Tome esta matriz fundamental y multiplicar por (5X1) vector unitario. Como se puede ver, la entrada de cerca de 4 es el número esperado de movimientos antes de que llegue, ya sea de la absorción de los estados. Funciona a ser de 7. Tenía el estado inicial estado 2, se espera que el número de movimientos antes de que se come se 2.714.

Answer 3

Voy a tomar una foto en este........

1) La eventual fatídico desenlace se produce cuando el número total de movimientos, menor versus superior, se distingue por 3.

Así, una manera de ver esto como un $E(x) = n\cdot p$ tipo de problema es la suma de los $(n\cdot p)$s de todos los resultados posibles.

Este será:

$3(\frac{1}{3})+5(\frac{2}{9})+7(\frac{4}{27})+9(\frac{8}{81})+ .....\text{etc}$ que es un infinito arethmetico-serie geométrica cuya infinita suma es: $$S = \frac{dg_2}{(1-r)^2} + \frac{a}{1-r} = \frac{2\cdot (\frac{1}{3}\cdot \frac{2}{3})}{\frac{1}{3}^2} + \frac{3\cdot \frac{1}{3}}{\frac{1}{3}} = 2\cdot 2 + 3 = 7$$

2) $$P(n\ge 100) = 1 - P(n<100)$$

$$P(n<100) = S_n = \frac{1}{3}+\frac{2}{9}+\frac{4}{27}+ .......+\frac{2^{n-1}}{3^n}$$

Esta resulta ser una serie geométrica, donde $a_1 = \frac{1}{3}, r = \frac{2}{3}$ e $n = 49$ (impar de $3$ a $99$) otro n de la n se mueve.

Ejemplo de cálculo de $3$rd término es: $9(\frac{2}{3})^5(\frac{1}{3})^2 + 9(\frac{1}{3})^5(\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{27}$

$$P(n\ge 100) = 1 - \frac{\frac{1}{3}(1-(\frac{2}{3})^{49})}{1-(\frac{2}{3})}$$

$$P(n\ge 100) = 1 - .9999999976 = 2.4\cdot 10^{-9}$$