27-10-2014: por Desgracia (para mí que es), nadie ha aportado una respuesta aquí -tal vez porque se parece a un extraño, "patológico" problema teórico y nada más?
Así, para citar un comentario por usuario el Cardenal (de la que hablaré posteriormente explorar)
"Aquí es un punto de absurdo, pero simple ejemplo. La idea es
ilustrar exactamente lo que puede ir mal y por qué. Tiene práctica
aplicaciones (mi énfasis). Ejemplo: Considere el típico yo.yo.d. modelo con finito
el segundo momento. Deje $\hat θ_n=\bar X_n+Z_n$ donde $Z_n$ es independiente de
$\bar X_n$ $Z_n=\pm an$ cada uno con una probabilidad de $1/n^2$ e es cero
de lo contrario, con $a>0$ arbitrarias. A continuación, $\hat θ_n$ es imparcial, ha
varianza acotada abajo por $a^2$, e $\hat θ_n→\mu$ casi seguramente
(es muy consistente). Os dejo como ejercicio en el caso de
el sesgo".
El maverick variable aleatoria aquí es $Z_n$, así que vamos a ver qué podemos decir acerca de él.
La variable tiene el apoyo $\{-an,0,an\}$ con las probabilidades correspondientes a $\{1/n^2,1-2/n^2,1/n^2\}$. Es simétrica alrededor de cero, por lo que tenemos
$$E(Z_n) = 0,\;\; \text{Var}(Z_n) = \frac {(-an)^2}{n^2} + 0 + \frac {(an)^2}{n^2} = 2a^2$$
En estos momentos no dependen $n$, por lo que supongo que nos permite trivialmente escribir
$$\lim_{n\rightarrow \infty} E(Z_n) = 0,\;\;\lim_{n\rightarrow \infty}\text{Var}(Z_n) = 2a^2$$
Pobre Hombre Asymptotics, sabemos de las condiciones para los límites de momentos a la igualdad de los momentos de la limitación de la distribución. Si el $r$-ésimo momento de la finitos caso de distribución converge a una constante (como es nuestro caso), entonces, si por otra parte,
$$\exists \delta >0 :\lim \sup E(|Z_n|^{r+\delta}) < \infty $$
el límite de la $r$-ésimo momento será el $r$-ésimo momento de la limitación de la distribución. En nuestro caso
$$E(|Z_n|^{r+\delta}) = \frac {|-an|^{r+\delta}}{n^2} + 0 + \frac {|an|^{r+\delta}}{n^2} = 2a^{r+\delta}\cdot n^{r+\delta-2}$$
Para $r\geq2$ este diverge para cualquier $\delta >0$, por lo que esta suficiente condición no se cumple para la varianza (sí para la media).
Tomar de otra manera: ¿Cuál es la distribución asintótica de $Z_n$? ¿El CDF de $Z_n$ converge a un no-degenerada CDF en el límite?
No se ve como se hace: la limitación de apoyo se $\{-\infty, 0, \infty\}$ (si se nos permite escribir esto), y las probabilidades correspondientes a $\{0,1,0\}$. Parece una constante para mí.
Pero si no tenemos una limitación de la distribución, en primer lugar, ¿cómo podemos hablar de sus momentos?
Luego, volviendo a la estimador $\hat \theta_n$, ya que el $\bar X_n$ también converge a una constante, parece que
$\hat \theta_n$ no tiene (no trivial) la limitación de la distribución, pero no
tener una variación en el límite. O, tal vez, esta variación es infinito? Pero una infinita variación constante de la distribución?
¿Cómo podemos entender esto? ¿Qué nos dice acerca de la calculadora? ¿Cuál es la diferencia esencial, en el límite, entre el$\hat \theta_n = \bar X_n + Z_n$$\tilde \theta_n = \bar X_n$?
