Si la fuerza es un vector, ¿por qué la presión es un escalar?

Question

Por definición, la presión es la fuerza perpendicular aplicada a una unidad de área. Por lo tanto, tiene una dirección que es perpendicular al área. Debería ser un vector. Pero hice algunas búsquedas en Google y descubrí que es una cantidad escalar. Por lo tanto, sería realmente útil si alguien pudiera mostrarme cómo la presión es escalar con alguna derivación matemática.

Answer 1

La presión es un factor de proporcionalidad. El área es la que te da dirección. Tienes que recordar que la presión está definida en todo el volumen en general, no solo en la superficie. Un volumen de gas tiene la presión definida en todas partes. Y la dirección de la fuerza la determinas tú, por la forma en que orientas la superficie que introduces en el gas.

$$\vec{F}=p\vec{A}$$ Aquí puedes ver que el área es el vector.

Citando a wikipedia:

Es incorrecto (aunque bastante común) decir "la presión está dirigida en tal o cual dirección". La presión, al ser un escalar, no tiene dirección. La fuerza proporcionada por la relación anterior a la cantidad tiene una dirección, pero la presión no. Si cambiamos la orientación del elemento de superficie, la dirección de la fuerza normal cambia en consecuencia, pero la presión sigue siendo la misma.

Debo aclarar que esto calcula la fuerza causada por la presión, entonces TE DA la fuerza perpendicular al área, dado el vector del área. Es la ecuación definitoria y la única que captura lo que realmente hace la presión, por lo que siempre es cierta, pero necesita ser entendida como una fórmula para calcular la fuerza a partir de la presión.

Si $\vec{F}$ es simplemente causado por la presión, no puede ser otra cosa que perpendicular al área, de lo contrario tendrías otras fuerzas presentes en el sistema, o el líquido no es isotrópico. Dicho esto, asumiendo que $\vec{F}$ es solo causado por la presión, podrías calcular $p$ tomando valores absolutos:

$$p=\frac{|F|}{|A|}$$

Matemáticamente, transformaste una ecuación de vector en una ecuación escalar asumiendo vectores paralelos, así que ahora no puedes introducir nada más, sino solo longitudes (o proyecciones - argumento similar) de F y A que estén garantizadas de haber sido paralelas, de lo contrario obtendrías un sinsentido. También pierdes el signo de la presión (para gases, no puede pasar, pero para sólidos elásticos o líquidos, puede "tirar" debido a las fuerzas intermoleculares).

However, estrictamente hablando, la presión es un tensor, pero para los gases, es isotrópica, así que actúa como un escalar. Sin entrar en detalles sobre qué es un tensor, imagina que en $p\vec{A}$, $p$ también puede transformar la dirección, no solo la magnitud de $\vec{A}$, por lo que la fuerza no tiene que ser perpendicular. Esto es cierto en sólidos elásticos, donde puedes transmitir fuerzas hacia los lados a la superficie, y en líquidos con flujo viscoso, donde la fuerza viscosa también es solo un stress (presión generalizada) transmitida a la superficie. En esta situación, $p$ tiene $6$ componentes independientes, así que no puedes medirla solo midiendo una fuerza en una sola superficie. Necesitarías medir todas las componentes de la fuerza en 3 superficies colocadas en diferentes orientaciones. Solo en los gases puedes confiar en que la fuerza tenga la misma magnitud sin importar la orientación.

Lecturas adicionales:

https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_stress_tensor

Answer 2

La presión no es un escalar: es una matriz.

La expresión completa de la relación fuerza-presión-área \(F=pA\) se lee $$ \begin{pmatrix}F_x\\ F_y \\ F_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}p & 0 & 0 \\ 0 & p & 0 \\ 0 & 0 & p\end{pmatrix} \begin{pmatrix}A_x\\ A_y \\ A_z \end{pmatrix}, $$ donde \( \vec F = (F_x, F_y, F_z) \) es la fuerza ejercida por el fluido en una superficie plana dada, y \( \vec A = (A_x, A_y, A_z) \) es el vector de área de la superficie: un vector cuya magnitud es el área de la superficie, en una dirección que es normal a la superficie.

Ahora, eso parece una forma horrenda de complicar excesivamente una fórmula que puede escribirse de manera mucho más sucinta, ¿por qué estoy escribiendo de esta manera?

Básicamente, porque la relación fuerza-presión-área es solo un ejemplo simple de una clase más amplia de formas en las que la fuerza puede ser transmitida a través de un medio volumétrico. Si dicho medio volumétrico es isotrópico, como un fluido, entonces la relación se reduce a la presión, pero si tu medio volumétrico es un poco más complicado, entonces comienzas a obtener cosas más interesantes, como

• presiones desiguales a lo largo de diferentes direcciones, de modo que por ejemplo, una superficie que apunta a lo largo del eje \( x \) experimentará menos presión que una superficie que apunta a lo largo del eje \( y \), o
• esfuerzos de corte, donde una superficie que apunta a lo largo del eje \( x \) puede experimentar una fuerza que no apunta en la dirección de la normal de la superficie.

Generalmente, sin embargo, como en el caso del fluido isotrópico, la fuerza seguirá dependiendo linealmente del vector de área de la superficie, y ambos comportamientos anteriores pueden ser sintetizados en un solo producto matricial del tipo $$ \begin{pmatrix}F_x\\ F_y \\ F_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}p_x & s_{xy} & s_{xz} \\ s_{yx} & p_y & s_{yz} \\ s_{zx} & s_{zy} & p_z\end{pmatrix} \begin{pmatrix}A_x\\ A_y \\ A_z \end{pmatrix}, $$ donde la matriz es el tensor de esfuerzos del medio: sus elementos diagonales son 'presiones' y sus elementos fuera de la diagonal denotan esfuerzos de corte.

Para el caso simple de un fluido, los esfuerzos de corte deben desvanecerse, y la isotropía del fluido demanda que todos los elementos diagonales sean iguales, lo que se reduce a hacer que el tensor de esfuerzos sea un múltiplo de la matriz identidad. Sin embargo, esa simplicidad a menudo puede cegarte ante las estructuras más grandes en juego, y solo una vez que encuentres la generalización adecuada es que todas las estructuras matemáticas encajarán en su lugar.

Answer 3

La presión es un escalar porque no se comporta como un vector, específicamente, no puedes tomar las "componentes" de la presión y sumarlas con el teorema de Pitágoras para obtener su magnitud. En cambio, la presión es realmente proporcional a la suma de las componentes, $(P_x+P_y+P_z)/3$.

La forma de entender la presión es en términos del tensor de esfuerzos, y la presión es igual a la traza del tensor de esfuerzos. Una vez que entiendes esto, la pregunta se vuelve equivalente a preguntas como "¿por qué el producto punto es un escalar?" (traza del producto tensorial), "¿por qué la divergencia de un campo vectorial es un escalar?" (traza de la derivada tensorial), etc.

No hay un significado físico al tomar las componentes diagonales de un tensor y ponerlas en un vector; sí hay un significado físico al sumarlas, y las propiedades de invariancia del resultado te dicen que es un escalar.

Ver también: ¿Por qué necesitamos tanto el producto punto como el producto cruz?

Answer 4

La fórmula es $\vec{F} = p \vec{n} A$ donde $\vec{n}$ es el vector unitario perpendicular a la superficie.

Answer 5

La presión se define como $$ P = |F| / A $$ donde $|F|$ es la magnitud de la fuerza normal, por lo tanto $P$ es un escalar.