Esto es cierto, pero no es muy fácil de probar.
Supongamos $X$ no es compacto. Sin pérdida de generalidad supongamos que la
original métrica $d$ a $X$ es tal que $d(x,y)<1$ para todos los $x,y\in X.$No
existe una disminución de la secuencia de la no-vacía de conjuntos cerrados $\{C_{n}\}$cuyo
intersección es vacía. Deje que $$\rho (x,y)=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{%
2^{n}}d_{n}(x,y)$$ where $$d_{n}(x,y)=\left\vert
d(x,C_{n})-d(y,C_{n})\right\vert +\min \{d(x,C_{n}),d(y,C_{n})\}d(x,y).$$Nosotros
afirman que $\rho $ es una métrica en $X$ que es equivalente a $d$ y que $%
(X,\rho )$ is not complete. Note that $d_{n}(x,y)\leq 2$ for all $x,y\in X.$
Si $x$ e $y$ $\in C_{k}$ entonces $x$ e $y$ $\in C_{n}$ para $1\leq n\leq k$
y por lo tanto $\rho (x,y)\leq \sum_{n=k+1}^{\infty }\frac{2}{2^{n}}=%
\frac{1}{2^{k}}$. Thus, the diameter of $C_{k}$ in $(X,\rho )$ no
exceder $\frac{1}{2^{k}}$. Una vez que se prueba que $\rho $ es una métrica equivalente
a $d$ se sigue que $\rho $ no está completa, porque $\{C_{n}\}$ es un
disminución de la secuencia de la no-vacío cerrado conjuntos cuya intersección es vacía.
Suponiendo que (por el momento) que $d_{n}$ satisface la desigualdad del triángulo es
sigue fácilmente que $\rho $ es una métrica: si $\rho (x,y)=0$ luego $%
d(x,C_{n})=d(y,C_{n})$ for each $n$ and $\min
\{d(x,C_{n}),d(y,C_{n})\}d(x,y)=0$ for each $n$. If $d(x,y)\neq 0$es
sigue ese $d(x,C_{n})=d(y,C_{n})=0$ por cada $n$ lo que implica que $x$
y $y$ pertenecen a cada una de las $C_{n}$ que contradice la hipótesis. Por lo tanto $\rho $\
es una métrica. También se $\rho (x_{j},x)\rightarrow 0$ como $j\rightarrow \infty $
implica $\left\vert d(x_{j},C_{n})-d(x,C_{n})\right\vert \rightarrow 0$ e $%
\min \{d(x_{j},C_{n}),d(x,C_{n})\}d(x_{j},x)\rightarrow 0$ as $j\rightarrow
\infty $ for each $n$. There is at least one integer $k$ such that $x\noen
C_{k}$ and we conclude that $d(x_{j},x)\rightarrow 0$. Conversely, suppose $%
d(x_{j},x)\rightarrow 0$. Then $d_{n}(x_{j},x)\rightarrow 0$ for each $$n
la serie de la definición de $\rho $ es uniformemente convergente, entonces $\rho
(x_{j},x)\rightarrow 0$. It remains only to show that $d_{n}$satisface
el triángulo de la desigualdad para cada una de las $n$ . Tenemos que demostrar que $$\left\vert
d(x,C_{n})-d(y,C_{n})\right\vert$$ $$+\min \{d(x,C_{n}),d(y,C_{n})\}d(x,y)$$
$$\leq \left\vert d(x,C_{n})-d(z,C_{n})\right\vert +\min
\{d(x,C_{n}),d(z,C_{n})\}d(x,z)$$ $$+\left\vert d(z,C_{n})-d(y,C_{n})\right\vert
+\min \{d(z,C_{n}),d(y,C_{n})\}d(z,y)$$ for all $x,y,z.$ Let $%
r_{1}=d(x,C_{n}),r_{2}=d(y,C_{n}),r_{3}=d(z,C_{n})$. Consideramos seis casos
dependiendo de la forma en que los números de $r_{1},r_{2},r_{3}$ están ordenados. Resulta
que la prueba es fácil cuando $r_{1}$ o $r_{2}$ es el más pequeño de la
tres. Le damos la prueba para el caso de $r_{3}\leq r_{1}\leq r_{2}$. (El caso
$r_{3}\leq r_{2}\leq r_{1}$ es similar). Tenemos que demostrar que
$$r_{2}-r_{1}+r_{1}d(x,y)\leq r_{1}-r_{3}+r_{3}d(x,z)+r_{2}-r_{3}+r_{3}d(z,y)$$
que dice $$r_{1}d(x,y)\leq 2r_{1}-2r_{3}+r_{3}d(x,z)+r_{3}d(z,y).$$ Since $d$
satisface trangle la desigualdad es suficiente para demostrar que $$%
r_{1}d(x,z)+r_{1}d(z,y)\leq 2r_{1}-2r_{3}+r_{3}d(x,z)+r_{3}d(z,y).$$ Pero este
última desigualdad es equivalente a $$(r_{1}-r_{3})[d(x,z)+d(z,y)]\leq
2r_{1}-2r_{3}.$$ This is true because $d(x,z)+d(z,y)\leq 1+1=2$.
