Estoy tratando de emplear el teorema de Mercer en el núcleo $k(x,y)=\min(x,y)$ . Se sabe (y es fácil de verificar) que se trata de un núcleo no negativo-definido sobre $[0,T]$ para cualquier $T>0$ .
Fijar $T>0$ . Calculemos las funciones propias de la transformación $\mathcal T_kf=\intop_{0}^T k(x,y)f(y)dy$ :
$$ \lambda\psi(x)=\intop_{0}^T \min(x,y)\psi(y)dy=$$ $$ \intop_{0}^x \min(x,y)\psi(y)dy - \intop_{T}^x \min(x,y)\psi(y)dy=$$ $$ \intop_{0}^x y\psi(y)dy - x\intop_{T}^x \psi(y)dy\implies$$ $$ \lambda\psi'(x)= x\psi(x)-x\psi(x)-\intop_{T}^x \psi(y)dy\implies$$ $$ -\lambda\psi''(x)= \psi(x)\implies$$ $$\psi(x)=C_1\sin\frac x {\sqrt\lambda} + C_2\cos\frac x {\sqrt\lambda}$$
parece que se nos permite elegir $C_1=1$ y $C_2=0$ . Así que elegimos $\psi_n(x)=\sin nx $ y $\lambda_n = n^{-2}$ . Entonces el teorema de Mercer en realidad dice que debemos obtener: $$ \min(x,y)=\sum_{n=1}^\infty n^{-2}\sin nx\sin ny$$
todo esto parece muy bonito, pero al evaluarlo numéricamente, no funciona. También he intentado normalizar $\psi$ dividiendo por su norma, que es $\sqrt {\frac 1 {4n} (2nT-\sin2nT)}$ y no sirvió de nada.
¿Qué pasa aquí?
EDIT: También he intentado sustituir la solución original por $C_1,C_2$ en la ecuación original del problema de valores propios, y luego calcular $C_1,C_2$ . No funcionó. Es un poco tedioso, lo hice con wxMaxima así que no lo traeré aquí.
