Minimizar $a + b + c + d$ s.t. $a^3+b^3=c^3+d^3$

Question

A, b, c y d son enteros positivos diferentes. He tratado de buscar en Google optimización y optimización restringida, pero aún no he encontrado nada aplicable.

EDITAR:

Intenté usar los multiplicadores de Lagrange, pero me topé con un muro:

$$f(a,b,c,d) = a+b+c+d$$

$$g(a,b,c,d) = a^3+b^3-c^3-d^3$$

Lagrange da el sistema:

$$f_i = \lambda g_i, i = a,b,c,d$$

$$1 = \lambda(3i^2), i=a,b \\ 1 = \lambda(-3i^2), i=c,d$$

(Ecuaciones $1-4$ )

$$a^3+b^3-c^3-d^3=0$$

(Eq $5$ )

Esto daría $a=b$ y $c=d$ pero esto rompería la restricción de que todos son diferentes, así que no sé si Lagrange puede ayudar con esto.

EDIT: (en curso)

$1729 = 1^3+12^3 = 9^3 + 10^3$ es la solución, como señala Macavity, pero estoy buscando una prueba de ello.

Answer 1

Si ha oído hablar de una anécdota bastante famosa sobre el Ramanujan y el número $1729$ , sabrás que es el menor número expresable como la suma de dos cubos positivos de dos formas diferentes, es decir $1729 = 1^3+12^3 = 9^3 + 10^3$ . Así que la respuesta que buscas es $1+12+9+10 = 32$ .

Aparte de enumerar y probar los números, no veo ninguna forma rápida de encontrar esta respuesta...