integral definida

Question

Hola chicos, tengo la siguiente integral definida para resolver:

ps

¿es posible obtener una expresión analítica? Y si no, ¿por qué?

Cuando intento la integración en matemática me devuelve el integrando ...

gracias de antemano

Editar:$$\int_{0}^{\infty}e^{-u}\frac{1}{\left(\sqrt{1+(h+u)^{2}}\right)^{5}}du$ es un número real, de modo que$h$ siempre es positivo

Answer 1

$\int_0^\infty e^{-u}\dfrac{1}{\left(\sqrt{1+(h+u)^2}\right)^5}du$

$=\int_0^\infty\dfrac{e^{-u}}{(1+(u+h)^2)^\frac{5}{2}}du$

$=\int_h^\infty\dfrac{e^{-(u-h)}}{(1+u^2)^\frac{5}{2}}d(u-h)$

$=e^h\int_h^\infty\dfrac{e^{-u}}{(1+u^2)^\frac{5}{2}}du$

Considere la posibilidad de $\int\dfrac{1}{(1+u^2)^\frac{5}{2}}du$ :

Deje $u=\tan\theta$ ,

A continuación, $du=\sec^2\theta~d\theta$

$\therefore\int\dfrac{1}{(1+u^2)^\frac{5}{2}}du$

$=\int\dfrac{\sec^2\theta}{(1+\tan^2\theta)^\frac{5}{2}}d\theta$

$=\int\dfrac{\sec^2\theta}{\sec^5\theta}d\theta$

$=\int\cos^3\theta~d\theta$

$=\int\cos^2\theta~d(\sin\theta)$

$=\int(1-\sin^2\theta)~d(\sin\theta)$

$=\sin\theta-\dfrac{\sin^3\theta}{3}+C$

$=\dfrac{u}{\sqrt{1+u^2}}-\dfrac{u^3}{3(1+u^2)^\frac{3}{2}}+C$

$=\dfrac{3u(1+u^2)-u^3}{3(1+u^2)^\frac{3}{2}}+C$

$=\dfrac{3u+2u^3}{3(1+u^2)^\frac{3}{2}}+C$

$=\dfrac{2u(1+u^2)+u}{3(1+u^2)^\frac{3}{2}}+C$

$=\dfrac{2u}{3\sqrt{1+u^2}}+\dfrac{u}{3(1+u^2)^\frac{3}{2}}+C$

$\therefore e^h\int_h^\infty\dfrac{e^{-u}}{(1+u^2)^\frac{5}{2}}du$

$=e^h\int_h^\infty e^{-u}~d\left(\dfrac{2u}{3\sqrt{1+u^2}}+\dfrac{u}{3(1+u^2)^\frac{3}{2}}\right)$

$=e^h\left[e^{-u}\left(\dfrac{2u}{3\sqrt{1+u^2}}+\dfrac{u}{3(1+u^2)^\frac{3}{2}}\right)\right]_h^\infty-e^h\int_h^\infty\left(\dfrac{2u}{3\sqrt{1+u^2}}+\dfrac{u}{3(1+u^2)^\frac{3}{2}}\right)d(e^{-u})$

$=-\dfrac{2h}{3\sqrt{1+h^2}}-\dfrac{h}{3(1+h^2)^\frac{3}{2}}+e^h\int_h^\infty e^{-u}\left(\dfrac{2u}{3\sqrt{1+u^2}}+\dfrac{u}{3(1+u^2)^\frac{3}{2}}\right)du$

$=-\dfrac{2h}{3\sqrt{1+h^2}}-\dfrac{h}{3(1+h^2)^\frac{3}{2}}+e^h\int_h^\infty\dfrac{2ue^{-u}}{3\sqrt{1+u^2}}du+e^h\int_h^\infty\dfrac{ue^{-u}}{3(1+u^2)^\frac{3}{2}}du$

$=-\dfrac{2h}{3\sqrt{1+h^2}}-\dfrac{h}{3(1+h^2)^\frac{3}{2}}+e^h\int_h^\infty\dfrac{2ue^{-u}}{3\sqrt{1+u^2}}du+e^h\int_h^\infty\dfrac{e^{-u}}{6(1+u^2)^\frac{3}{2}}d(1+u^2)$

$=-\dfrac{2h}{3\sqrt{1+h^2}}-\dfrac{h}{3(1+h^2)^\frac{3}{2}}+e^h\int_h^\infty\dfrac{2ue^{-u}}{3\sqrt{1+u^2}}du-e^h\int_h^\infty\dfrac{e^{-u}}{3}d\left(\dfrac{1}{\sqrt{1+u^2}}\right)$

$=-\dfrac{2h}{3\sqrt{1+h^2}}-\dfrac{h}{3(1+h^2)^\frac{3}{2}}+e^h\int_h^\infty\dfrac{2ue^{-u}}{3\sqrt{1+u^2}}du-e^h\left[\dfrac{e^{-u}}{3\sqrt{1+u^2}}\right]_h^\infty+e^h\int_h^\infty\dfrac{1}{3\sqrt{1+u^2}}d(e^{-u})$

$=\dfrac{1}{3\sqrt{1+h^2}}-\dfrac{2h}{3\sqrt{1+h^2}}-\dfrac{h}{3(1+h^2)^\frac{3}{2}}+\dfrac{2e^h}{3}\int_h^\infty\dfrac{ue^{-u}}{\sqrt{1+u^2}}du-\dfrac{e^h}{3}\int_h^\infty\dfrac{e^{-u}}{\sqrt{1+u^2}}du$

$=\dfrac{1-2h}{3\sqrt{1+h^2}}-\dfrac{h}{3(1+h^2)^\frac{3}{2}}+\dfrac{2e^h}{3}\int_{\sinh^{-1}h}^\infty\dfrac{e^{-\sinh u}\sinh u}{\sqrt{1+\sinh^2u}}d(\sinh u)-\dfrac{e^h}{3}\int_{\sinh^{-1}h}^\infty\dfrac{e^{-\sinh u}}{\sqrt{1+\sinh^2u}}d(\sinh u)$

$=\dfrac{1-2h}{3\sqrt{1+h^2}}-\dfrac{h}{3(1+h^2)^\frac{3}{2}}+\dfrac{2e^h}{3}\int_{\sinh^{-1}h}^\infty e^{-\sinh u}\sinh u~du-\dfrac{e^h}{3}\int_{\sinh^{-1}h}^\infty e^{-\sinh u}~du$

$=\dfrac{1-2h}{3\sqrt{1+h^2}}-\dfrac{h}{3(1+h^2)^\frac{3}{2}}+\dfrac{2e^h}{3}\int_{\sinh^{-1}h}^\infty e^{-\frac{e^u-e^{-u}}{2}}\dfrac{e^u-e^{-u}}{2}du-\dfrac{e^h}{3}\int_{\sinh^{-1}h}^\infty e^{-\frac{e^u-e^{-u}}{2}}du$

$=\dfrac{1-2h}{3\sqrt{1+h^2}}-\dfrac{h}{3(1+h^2)^\frac{3}{2}}+\dfrac{e^h}{3}\int_{\sinh^{-1}h}^\infty e^{-\frac{e^u}{2}+\frac{e^{-u}}{2}}e^u~du-\dfrac{e^h}{3}\int_{\sinh^{-1}h}^\infty e^{-\frac{e^u}{2}+\frac{e^{-u}}{2}}du-\dfrac{e^h}{3}\int_{\sinh^{-1}h}^\infty e^{-\frac{e^u}{2}+\frac{e^{-u}}{2}}e^{-u}~du$

$=\dfrac{1-2h}{3\sqrt{1+h^2}}-\dfrac{h}{3(1+h^2)^\frac{3}{2}}+\dfrac{e^h}{3}\int_{e^{\sinh^{-1}h}}^\infty e^{-\frac{u}{2}+\frac{1}{2u}}u~d(\ln u)-\dfrac{e^h}{3}\int_{e^{\sinh^{-1}h}}^\infty e^{-\frac{u}{2}+\frac{1}{2u}}d(\ln u)-\dfrac{e^h}{3}\int_{e^{\sinh^{-1}h}}^\infty\dfrac{e^{-\frac{u}{2}+\frac{1}{2u}}}{u}d(\ln u)$

$=\dfrac{1-2h}{3\sqrt{1+h^2}}-\dfrac{h}{3(1+h^2)^\frac{3}{2}}+\dfrac{e^h}{3}\int_{e^{\sinh^{-1}h}}^\infty e^{-\frac{u}{2}+\frac{1}{2u}}du-\dfrac{e^h}{3}\int_{e^{\sinh^{-1}h}}^\infty\dfrac{e^{-\frac{u}{2}+\frac{1}{2u}}}{u}du-\dfrac{e^h}{3}\int_{e^{\sinh^{-1}h}}^\infty\dfrac{e^{-\frac{u}{2}+\frac{1}{2u}}}{u^2}du$

$=\dfrac{1-2h}{3\sqrt{1+h^2}}-\dfrac{h}{3(1+h^2)^\frac{3}{2}}+\dfrac{e^h}{3}\int_1^\infty e^{-\frac{e^{\sinh^{-1}h}u}{2}+\frac{1}{2e^{\sinh^{-1}h}u}}d(e^{\sinh^{-1}h}u)-\dfrac{e^h}{3}\int_1^\infty\dfrac{e^{-\frac{e^{\sinh^{-1}h}u}{2}+\frac{1}{2e^{\sinh^{-1}h}u}}}{e^{\sinh^{-1}h}u}d(e^{\sinh^{-1}h}u)-\dfrac{e^h}{3}\int_1^\infty\dfrac{e^{-\frac{e^{\sinh^{-1}h}u}{2}+\frac{1}{2e^{\sinh^{-1}h}u}}}{(e^{\sinh^{-1}h}u)^2}d(e^{\sinh^{-1}h}u)$

$=\dfrac{1-2h}{3\sqrt{1+h^2}}-\dfrac{h}{3(1+h^2)^\frac{3}{2}}+\dfrac{e^{h+\sinh^{-1}h}}{3}\int_1^\infty e^{-\frac{e^{\sinh^{-1}h}u}{2}+\frac{e^{-\sinh^{-1}h}}{2u}}du-\dfrac{e^h}{3}\int_1^\infty\dfrac{e^{-\frac{e^{\sinh^{-1}h}u}{2}+\frac{e^{-\sinh^{-1}h}}{2u}}}{u}du-\dfrac{e^{h-\sinh^{-1}h}}{3}\int_1^\infty\dfrac{e^{-\frac{e^{\sinh^{-1}h}u}{2}+\frac{e^{-\sinh^{-1}h}}{2u}}}{u^2}du$

$=\dfrac{1-2h}{3\sqrt{1+h^2}}-\dfrac{h}{3(1+h^2)^\frac{3}{2}}+\dfrac{e^{h+\sinh^{-1}h}}{3}K_{-1}\left(\dfrac{e^{\sinh^{-1}h}}{2},-\dfrac{e^{-\sinh^{-1}h}}{2}\right)-\dfrac{e^h}{3}K_0\left(\dfrac{e^{\sinh^{-1}h}}{2},-\dfrac{e^{-\sinh^{-1}h}}{2}\right)-\dfrac{e^{h-\sinh^{-1}h}}{3}K_1\left(\dfrac{e^{\sinh^{-1}h}}{2},-\dfrac{e^{-\sinh^{-1}h}}{2}\right)$

(de acuerdo a http://artax.karlin.mff.cuni.cz/r-help/library/DistributionUtils/html/incompleteBesselK.html)

Answer 2

Es posible obtener una expresión analítica?

No.

Y si no, ¿por qué?

Porque no hay "incompleta" de Bessel o Struve funciones. Observe que incluso para el caso sencillo

$h=0$, la integral se convierte en $\displaystyle\int_0^\infty\frac{e^{-x}}{\Big(\sqrt{1+x^2}\Big)^{2n+1}}dx=\frac\pi2\cdot\frac{(-1)^nH_{-n}(1)-Y_n(1)}{(2n-1)!!}$, donde H

y Y son los Struve H y de Bessel Y funciones, respectivamente. Sin embargo, mediante la modificación de cualquiera de los dos fijos límites de integración, la expresión resultante no puede ser analizado, incluso en términos de estas dos funciones especiales. $\big($El estándar de sustitución utilizados para obtener este resultado se $x=\sinh t\big)$.

Answer 3

Vamos a escribir $f(x)=(1+x^2)^{-5/2}$, de modo que estamos tratando de evaluar $I(h)=\int_0^{\infty} e^{-u}f(u+h)du$. Podemos diferenciar $I$ con respecto al $h$ mediante la diferenciación bajo el signo integral para obtener

$$ I'(h)=\int_0^{\infty} e^{-u} f'(u+h)du = [e^{-u}f(u+h)]_{u=0}^{\infty}+\int_0^{\infty} e^{-u}f(u+h)du = f(h)+I(h)$$

donde hemos utilizado la integración por partes con los dos factores de $e^{-u}$$f(u+h)$.

Por lo tanto, tenemos que resolver el primer orden de la ecuación diferencial de coeficientes constantes

$$ y'-y = f(x). $$

Multiplicando por el factor de integración $e^{-x}$ y la integración de ambos lados, tenemos

$$e^{-x}y=\int e^{-x}f(x). dx$$

La buena noticia es que hemos eliminado la dependencia de nuestros integral en dos variables. Por desgracia, hemos añadido la necesidad de encontrar una integral indefinida. Si esto es una adecuada simplificación, no puedo decir.

Answer 4

Usando la sustitución$t=u+h$, obtienes$$I=\int_0^{\infty}e^{-u}\frac{1}{\sqrt{1+(u+h)^2}^5}\,dx=e^{h}\int_h^1e^{-t}\frac{1}{\sqrt{t^2+1}^5}\,dt$ $

Usando la sustitución$t=\tan(\theta)$, obtienes$dt=\sec^2(\theta)d\theta$,$t=h\rightarrow\theta=\arctan(h)=\theta_0$,$t=\infty\rightarrow\theta=\frac{\pi}{2}$:

$$ \begin{array}{rcl} I=e^{h}\int_h^1e^{-t}\frac{1}{\sqrt{t^2+1}^5}\,dt&=&e^h\int_0^{\frac{\pi}{2}}e^{\tan{\theta}}\frac{\sec^2(\theta)}{\sqrt{\tan^2(\theta)+1}^5}\,d\theta\\ &=&e^h\int_{\theta_0}^{\frac{\pi}{2}}e^{\tan{\theta}}\frac{\sec^2(\theta)}{\sqrt{\sec^2(\theta)}^5}\,d\theta\\ &=&e^h\int_{\theta_0}^{\frac{\pi}{2}}e^{\tan{\theta}}\frac{\sec^2(\theta)}{\sec^5(\theta)}\,d\theta\\ &=&e^h\int_{\theta_0}^{\frac{\pi}{2}}e^{\tan{\theta}}\frac{1}{\sec^3(\theta)}\,d\theta\\ &=&e^h\int_{\theta_0}^{\frac{\pi}{2}}e^{\tan{\theta}}\cos^3(\theta)\,d\theta\\ \end {array} $$

Una forma posible de continuar esto es$\cos^3(\theta)=\cos(\theta)\cos^2(\theta)=\cos(\theta)(1-\sin(\theta))$, entonces

$$ \begin{array}{rcl} I&=&\underbrace{e^h\int_{\theta_0}^{\frac{\pi}{2}}e^{\tan(\theta)}\cos(\theta)\,d\theta}_{I_1}+\underbrace{e^h\int_{\theta_0}^{\frac{\pi}{2}}e^{\tan(\theta)}\sin^2(\theta)\cos(\theta)\,d\theta}_{I_2} \end {array} $$

1. Para$I_1$, podrías hacerlo por partes (aún no lo he hecho)

2. Para$I_2$, puede hacerlo por partes, claramente o tratando de usar primero la sustitución$x=\sin(\theta)$, entonces$dx=\cos(\theta)d\theta$ y$\tan(\theta)=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$ (tampoco lo he intentado).

¡Buena suerte!